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因数分解公式(n乗の差,和)

更新日時 2021/03/07
n乗の差の因数分解公式

anbn=(ab)(an1+an2b++abn2+bn1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})

n乗の差・n乗の和の因数分解公式について詳しく解説します。

目次
  • 具体例

  • 公式の成り立ち,背景

  • n乗の和の公式

  • 応用例

具体例

n=2,3,4n=2,3,4 の場合の公式を書いてみます:
a2b2=(ab)(a+b)a3b3=(ab)(a2+ab+b2)a4b4=(ab)(a3+a2b+ab2+b3)a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)
上2つは教科書にも載っている公式です。

特に,b=1b=1 の場合をよく見ます:
a21=(a1)(a+1)a31=(a1)(a2+a+1)a^2-1=(a-1)(a+1)\\a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)

公式の成り立ち,背景

anbn=(ab)(an1+an2b++abn2+bn1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})

という因数分解公式について,

  • 単純に右辺を展開したら左辺と一致することが確認できます。因数分解公式を証明するならこれだけで十分ですが,もう少し考察してみます。

  • 等比数列の和の公式からも確認できます。
    右辺の2つ目のカッコの中身
    an1+an2b++abn2+bn1a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}
    は初項 an1a^{n-1},公比 ba\dfrac{b}{a},項数 nn の等比数列であるので,等比数列の和の公式から
    an1+an2b++abn2+bn1=an1(1(ba)n)1ba=anbnaba^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\\ =\dfrac{a^{n-1}(1-(\tfrac{b}{a})^n)}{1-\tfrac{b}{a}}\\ =\dfrac{a^n-b^n}{a-b}

  • 因数定理からも以下のように確認できます。
    公式の左辺を aa の多項式とみる: P(a)=anbnP(a)=a^n-b^n
    P(b)=0P(b)=0 より,P(a)P(a)(ab)(a-b) を因数として持つ。 そこで,(ab)(a-b) で割り算を行うと上の公式を得る。

n乗の和の公式

anbna^n-b^n の因数分解公式を紹介しましたが,an+bna^n+b^n はどうなるでしょうか?

実は,nn が奇数の場合には「nn 乗の差の因数分解公式」において,bbb-b と置き換えることで「nn 乗の和の公式」も作ることができます:

n乗の和の因数分解公式

nn が奇数のとき,
an+bn=(a+b)(an1an2b+abn2+bn1)a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})

特に n=3n=3 の場合の公式はお馴染みです: a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

また,n=5n=5 の場合は以下のようになります: a5+b5=(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)

応用例

難関大学の入試や数学オリンピックで出題される「整数問題」の解法にこの公式は頻繁に用いられます。

例えば,

  • an1a^n-1(a1)(a-1) の倍数であることが瞬時に分かります。
  • 13n8n13^n-8^n55 の倍数であることが瞬時に分かります。
  • フェルマー数の漸化式が導出できます。→フェルマー数とその性質

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