因数分解公式（n乗の差，和）

$n=2,3,4$ の場合の公式を書いてみます：
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)$
上2つは教科書にも載っている公式です。

特に，$b=1$ の場合をよく見ます：
$a^2-1=(a-1)(a+1)\\a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})$

という因数分解公式について，

• 単純に右辺を展開したら左辺と一致することが確認できます。因数分解公式を証明するならこれだけで十分ですが，もう少し考察してみます。

• 等比数列の和の公式からも確認できます。
  右辺の2つ目のカッコの中身
  $a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}$
  は初項 $a^{n-1}$，公比 $\dfrac{b}{a}$，項数 $n$ の等比数列であるので，等比数列の和の公式から
  $a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\\ =\dfrac{a^{n-1}(1-(\tfrac{b}{a})^n)}{1-\tfrac{b}{a}}\\ =\dfrac{a^n-b^n}{a-b}$

• 因数定理からも以下のように確認できます。
  公式の左辺を $a$ の多項式とみる： $P(a)=a^n-b^n$
  $P(b)=0$ より，$P(a)$ は $(a-b)$ を因数として持つ。 そこで，$(a-b)$ で割り算を行うと上の公式を得る。

$a^n-b^n$ の因数分解公式を紹介しましたが，$a^n+b^n$ はどうなるでしょうか？

実は，$n$ が奇数の場合には「$n$ 乗の差の因数分解公式」において，$b$ を $-b$ と置き換えることで「$n$ 乗の和の公式」も作ることができます：

特に $n=3$ の場合の公式はお馴染みです： $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

また，$n=5$ の場合は以下のようになります： $a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)$

難関大学の入試や数学オリンピックで出題される「整数問題」の解法にこの公式は頻繁に用いられます。

例えば，

• $a^n-1$ が $(a-1)$ の倍数であることが瞬時に分かります。
• $13^n-8^n$ が $5$ の倍数であることが瞬時に分かります。
• フェルマー数の漸化式が導出できます。→フェルマー数とその性質

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