フェルマー数とその性質

更新日時 2021/03/07

非負の整数 $n$ を用いて $F_n=2^{2^n}+1$ と表される整数をフェルマー数と呼ぶ

フェルマー数には様々な性質があります。このページでは特に重要な性質を3つ紹介します。

フェルマー数の例
フェルマー数を表す漸化式の導出
フェルマー数が互いに素であることの証明
二重指数的に増える

フェルマー数の例雰囲気をつかむために，フェルマー数を並べてみます。
F0=21+1=3F_0=2^1+1=3F0​=21+1=3
F1=22+1=5F_1=2^2+1=5F1​=22+1=5
F2=24+1=17F_2=2^4+1=17F2​=24+1=17
F3=28+1=257F_3=2^8+1=257F3​=28+1=257
F4=216+1=65537F_4=2^{16}+1=65537F4​=216+1=65537
F5=232+1=4294967297=641×6700417F_5=2^{32}+1=4294967297=641 × 6700417F5​=232+1=4294967297=641×6700417

フェルマー数を表す漸化式の導出

性質1

$F_n=\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}F_i+2$

フェルマー数に現れる $2^{2^n}$ がいかにも因数分解してほしそうな形をしているので， $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ を繰り返し用いて因数分解してやると，漸化式が導出できます。

性質1の証明

フェルマー数の定義より，

$F_n-2\\ =2^{2^n}-1\\ =(2^{2^{n-1}}-1)F_{n-1}\\ =(2^{2^{n-2}}-1)F_{n-2}F_{n-1}\\ \cdots\\ =\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}F_i$

より性質1が示された。

指数に整数が乗っていたらまずは因数分解を疑いましょう。→因数分解公式（n乗の差，和）

フェルマー数が互いに素であることの証明

性質2

フェルマー数どうしは互いに素

性質1を用いれば簡単に証明できます。

性質2の証明

背理法で証明する。2つのフェルマー数 $F_m,F_n (m <n)$ が共通因数 $p$ を持つと仮定すると，性質1より

$2=F_n-\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}F_i$ も $p$ の倍数となり $p=2$ となる。しかし，フェルマー数は全て奇数なので矛盾。

ちなみに，性質2と，全てのフェルマー数が素因数を最低1つは含んでいることから，素数が無限にあることが証明されました。

素数が無限にあることの証明はたくさん発見されています（→素数が無限にあることの4通りの証明）が，フェルマー数を用いたこの方法はポリア(Polya)によって発見されました。

ちなみに，フェルマー数 $F_0$ から $F_4$ までは素数で $F_5$ は合成数なので，フェルマー数は素数も合成数も含んでいます。しかし，「フェルマー数は無限に多くの素数を含んでいる」のか，「フェルマー数は無限に多くの合成数を含んでいる」のか，いずれも証明されておらず未解決問題のようです。証明できたらご一報ください。

二重指数的に増える

性質3

フェルマー数はものすごい勢いで大きくなる。

最初に実験したように $F_5$ でもかなり大きな数になっています。

$f(x)=a^{b^x}$ の形の関数を二重指数関数と呼び，指数関数よりも発散のスピードが速い関数として知られています。フェルマー数は二重指数関数です。フェルマー数に似た数列にシルベスターの数列がありますが，こちらも二重指数関数です。→シルベスターの数列とその性質

一般的に，多項式関数より指数関数の方が圧倒的に大きくなる（発散する）スピードが速いのですが，二重指数関数は指数関数よりも発散のスピードが速いです。

ちなみに，二重指数関数は工学的な応用もあります（数値積分の計算スピードを上げる）。

三重指数関数とかも理論的には考えられますが，実際に使われている場面を見たことがありません。

この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！