フェルマー数とその性質

雰囲気をつかむために，フェルマー数を並べてみます。

• $F_0=2^1+1=3$
• $F_1=2^2+1=5$
• $F_2=2^4+1=17$
• $F_3=2^8+1=257$
• $F_4=2^{16}+1=65537$
• $F_5=2^{32}+1=4294967297$

$F_4$ までは素数ですが，実は $F_5$ は合成数です： $$F_5=641 × 6700417$$

ただし，$\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}F_{i}$ は $F_0$ から $F_{n-1}$ までの積です。→総積の記号Π（パイ）の意味と性質

フェルマー数に現れる $2^{2^n}$ がいかにも因数分解してほしそうな形をしているので，$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ を繰り返し用いて因数分解すると，漸化式が導出できます。

このように，指数に整数が乗っていたらまずは因数分解を疑いましょう。→因数分解公式（n乗の差，和）

性質1の漸化式を用いれば簡単に証明できます。

フェルマー数と素数

• 性質2と，全てのフェルマー数が素因数を最低1つは含んでいることから，素数が無限にあることが証明されました！

• 素数が無限にあることの証明はたくさん発見されています（→素数が無限にあることの4通りの証明）が，フェルマー数を用いたこの方法はポリア(Polya)によって発見されました。

• ちなみに，フェルマー数 $F_0$ から $F_4$ までは素数で $F_5$ は合成数なので，フェルマー数は素数も合成数も含んでいます。しかし，「フェルマー数は無限に多くの素数を含んでいる」のか，「フェルマー数は無限に多くの合成数を含んでいる」のか，いずれも証明されておらず未解決問題のようです。証明できたらご一報ください。

• フェルマー素数は正多角形の作図可能条件にも現れます。→正多角形の作図可能性の条件

最初に実験したように $F_5$ でもかなり大きな数になっています。

$f(x)=a^{b^x}$ の形の関数を二重指数関数と呼び，指数関数よりも発散のスピードが速い関数として知られています。フェルマー数は二重指数関数です。フェルマー数に似た数列にシルベスターの数列がありますが，こちらも二重指数関数です。→シルベスターの数列とその性質

一般的に，多項式関数より指数関数の方が圧倒的に大きくなる（発散する）スピードが速いのですが，二重指数関数は指数関数よりも発散のスピードが速いです。

ちなみに，二重指数関数は工学的な応用もあります（数値積分の計算スピードを上げる）。