総積の記号Π（パイ）の意味と性質

• 高校数学で習う総和記号 $\displaystyle\sum$ のかけ算バージョンです。

• $\displaystyle\prod$ はギリシャ文字のパイ $\pi$ の大文字です。

• $\displaystyle\sum$ は「総和」，$\displaystyle\prod$ は「総積」あるいは「総乗」です。

• TeX では \prod_{i=1}^na_i などと書きます。$\displaystyle\prod_{i=1}^na_i$ と表示されます。\prod は積を表す英単語 product に由来します。

いずれも覚える必要はありません。かけ算をきちんと書き下せば明らかです。

空集合の積

$\displaystyle\prod_{i=1}^na_i=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n$ ですが，$n=0$ のとき左辺を $1$ と定めることが多いです。このように定めればさきほどの性質

• $\displaystyle\prod_{i=1}^ni=n!$
• $\displaystyle\prod_{i=1}^nk=k^n$

が $n=0$ でも成立したりして嬉しいです。

ちなみに総和記号の場合は $\displaystyle\sum_{i=1}^0a_i=0$ と考えることが多いです。「何も足さないのは $0$」で「何もかけないのは $1$」と考えます。

総積と総和の関係

積は対数を取ると和になります。つまり，各 $a_i>0$ のとき， $$\log\displaystyle\prod_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^n\log a_i$$ となります。つまり，$b_i=\log a_i$ とおくと， $$\displaystyle\prod_{i=1}^na_i=e^{\sum_{i=1}^n b_i}$$ となります。積の計算は和の計算に帰着されます。

総和の公式は $$\displaystyle\sum_{i=1}^ni=\dfrac{1}{2}n(n+1)$$ などおもしろいものがあります（→4乗の和，べき乗の和の公式）が，総積の公式で「よく使う」かつ「おもしろい」ものは無い印象です。

無限積

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^na_i$ のことを $\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ と書くことがあります（無限和）。同様に，$\displaystyle\prod_{i=1}^\infty a_i$ という記号もあります（無限積）。

ただし，無限積の場合は $a_i=0$ となる $i$ が $1$ つでもあると $0$ になってしまいつまらないので，その部分を除外して考える場合もあります。つまり， $\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}a_i$ が収束するとは，ある自然数 $N$ があって，極限 $\alpha_N=\displaystyle\lim_{m\to\infty}\prod_{i=N}^ma_i$ が $0$ ではない値に収束することを指します。→sin の無限乗積展開とワイエルシュトラスの因数分解定理