集合の記号の意味まとめ

• $a \in A$ ： $a$ は集合 $A$ の要素である，$a$ は $A$ に属する
  注：集合の要素はアルファベットの小文字，集合はアルファベットの大文字を使うことが多いです。

• $a \not\in A$ ： $a$ は $A$ に属さない

• $A=B$ ：集合 $A$ と集合 $B$ は等しい（全ての要素が同じ）

• $A\subseteq B$ ：集合 $A$ は集合 $B$ の部分集合である

• $A\subset B$ ：集合 $A$ は集合 $B$ の真部分集合（部分集合であるが等しくはない）である
  注：部分集合，真部分集合の記号についてはいくつか流儀があるので注意が必要です。

• $A\cup B$ ： $A$ と $B$ の少なくとも一方に属する要素全体の集合（または，和集合，union）

• $A\cap B$ ： $A$ と $B$ の両方に属する要素全体の集合（かつ，共通部分，積集合，intersection）

• $\emptyset$ ：要素を持たない集合（空集合），ギリシャ文字の $\phi$ （ファイ）と似ていますが異なる記号です。

• $A^{\mathrm{c}},\overline{A}$ ：全体集合から $A$ に含まれる要素を除いた集合（$A$ の補集合）

• $|A|$ ：集合 $A$ の濃度（$A$ が有限集合の場合，元の個数） →集合の濃度と可算無限・非可算無限

• $A\setminus B$，$A-B$ ： $A$ に含まれているが $B$ に含まれていない元の集合（差集合），$A\cap B^{\mathrm{c}}$

• $A\mathbin{\Delta}B$ ： $A$ または $B$ のちょうど片方に含まれている元の集合（対称差），$(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$
  注：例えば二部グラフの最大マッチング問題やデルタマトロイドの公理に登場する記号です。

• $2^{A}$ ： $A$ の部分集合全体の集合（べき集合）。有限集合のべき集合の要素数が $2^{|A|}$ 個であることを意識すると覚えやすい。

注：各要素が集合であるような集合（集合の集合）を集合族と言います。集合族は筆記体（$\cal{C},\cal{F}$ など）を使って表すことが多いです。

• $A\times B$ ： $\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$ （直積集合），有限集合について直積集合の要素数が $|A|\times |B|$ であることを意識すると覚えやすい。→直積（2つの集合の直積から無限個の場合まで）

• $A^n$：$A\times A\times \cdots \times A$（$n$ 個の直積集合）のこと。

• $A^B$：$B$ から $A$ への写像全体の集合。有限集合の場合に要素数について，$|A^B|=|A|^{|B|}$ であることを意識すると覚えやすい。集合の集合乗。

• $A/{\sim}$ ：集合 $A$ の，同値関係 $\sim$ に関する同値類全体のなす集合（商集合）

• $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}A_n$：集合列の上極限集合（無限個の $A_n$ に属すような要素を集めた集合）→limsup、liminfの意味（数列・集合の上極限・下極限）

• $\mathbb{N}$ ：正の整数全体の集合

• $\mathbb{Z}$ ：整数全体の集合

• $\mathbb{Q}$ ：有理数全体の集合

• $\mathbb{R}$ ：実数全体の集合

• $\mathbb{C}$ ：複素数全体の集合

• $\mathbb{H}$：四元数全体の集合→四元数と三次元空間における回転

• $\aleph_0$：自然数全体の集合の濃度→集合の濃度と可算無限・非可算無限

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