limsup、liminfの意味(数列・集合の上極限・下極限)

更新日時 2021/10/08

lim supnan\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_nlimnan\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n などの記号で表される数列の上極限・下極限について紹介します。集合列の上極限・下極限の意味や,数列版との関係も説明します。

目次
  • 数列の上極限

  • 数列の下極限

  • 上極限と下極限の記号について

  • 集合列の上極限と下極限

  • 数列版と集合列版の関係

数列の上極限

数列の上極限の定義

数列 ana_n の上極限とは,limn(supknak)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\geq n} a_k\right) のこと。

数列 ana_n の上極限を lim supnan\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n または limnan\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n と書く。

上極限の定義 limn(supknak)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\geq n} a_k\right) をもう少し説明すると,

  • supknak\displaystyle\sup_{k\geq n}a_k とは,{an,an+1,an+2,}\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\cdots\} という集合の上限(≒最大)です。→sup(上限)とmax(最大)の違い
  • つまり,大雑把に言うと上極限はnn 番目以降の中での最大」が nn を増やしたときにどうなるか?を表す値です。
  • 「数列を図示したときの上側の極限」とも言えます。

数列 an=(1)n(1+1n)a_n=(-1)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right) に対して上極限 lim supnan\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n を求めよ。

解答

ana_n の最初の方の項は,2,32,43,54,-2,\dfrac{3}{2},-\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{4},\dots となる。

数列を図示すると以下のようになる。 limsupの例 赤い点が「上側」を表す。この赤い点の yy 座標は 11 に収束するので上極限は 11

もう少し正確に書くと,

  • nn が偶数のとき,nn 番目以降の中での上限は,nn 番目そのもの:
    supknak=1+1n\displaystyle\sup_{k\geq n}a_k=1+\dfrac{1}{n}
  • nn が奇数のとき,nn 番目以降の中での上限は,n+1n+1 番目:
    supknak=1+1n+1\displaystyle\sup_{k\geq n}a_k=1+\dfrac{1}{n+1}

よって,nn\to\inftysupknak\displaystyle\sup_{k\geq n}a_k11 に収束する。つまり上極限は 11

数列の下極限

下極限も同様に定義されます。「数列を図示したときの下側の極限」です。

数列の下極限の定義

数列 ana_n の下極限とは,limn(infknak)\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\geq n} a_k\right) のこと。

数列 ana_n の下極限を lim infnan\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n または limnan\displaystyle\varliminf_{n\to\infty} a_n と書く。

さきほどの例:an=(1)n(1+1n)a_n=(-1)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right) に対して下極限は lim infnan=1\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n=-1 となります。

上極限と下極限の記号について

  • 上極限の定義は sup\suplim\lim なので,lim sup\limsup という記号は定義がわかりやすいです。
  • 一方「数列を図示したときの上側の極限」というイメージは limnan\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n という記号の方がわかりやすいです。

集合列の上極限と下極限

集合列の上極限の定義

集合の列 A1,A2,A_1,A_2,\dots に対して,

  • n=1knAk\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k\geq n}A_k を上極限集合と言い,lim supnAn\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n などと書く。
  • n=1knAk\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k\geq n}A_k を下極限集合と言い,lim infnAn\displaystyle\liminf_{n\to\infty} A_n などと書く。

上極限集合・下極限集合の意味を言葉で表すと,
(1) alim supnAna\in \displaystyle\limsup_{n\to\infty}{A_n}     a\iff a は無限に多くの AnA_n に属す
(2) alim infnAna\in \displaystyle\liminf_{n\to\infty}{A_n}     a\iff a が属さない AnA_n は有限個

上極限集合の意味(1)の説明

Bn=knAkB_n=\displaystyle\bigcup_{k\geq n}A_k とは,集合 An,An+1,A_n,A_{n+1},\dots の和集合。つまり「AnA_n 以降のどこか1つには属すもの」を集めた集合。

さらに,n=1Bn\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}B_n は,BnB_n たちの共通部分。つまり,すべての BnB_n に属す要素を集めた集合。

よって,上極限集合は「すべての nn に対して,AnA_n 以降のどこか1つには属す」を満たす要素を集めた集合。これは「無限に多くの AnA_n に属す」を満たす要素の集合と言える。

下極限集合の意味(2)の説明

Bn=knAkB_n=\displaystyle\bigcap_{k\geq n}A_k とは,集合 An,An+1,A_n,A_{n+1},\dots の共通部分。つまり「AnA_n 以降のすべてに属すもの」を集めた集合。

さらに,n=1Bn\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n は,BnB_n たちの和集合。

よって,下極限集合は「ある nn に対して,AnA_n 以降のすべてに属す」を満たす要素を集めた集合。これは「属さない AnA_n が有限個」を満たす要素の集合と言える。

上極限集合と下極限集合の間には,lim infnAnlim supnAn\displaystyle\liminf_{n\to\infty}A_n\subseteq\limsup_{n\to\infty} A_n という包含関係が成立します。

「属さないのが有限個」なら「無限個に属す」だからです。

数列版と集合列版の関係

集合列に対する上極限 lim supnAn\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n と,数列に対する上極限 lim supnan\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n の関係を紹介します。

集合の列 A1,A2,A_1,A_2,\dots と固定した要素 xx に対して,

  • xAnx\in A_n なら an=1a_n=1
  • x∉Anx\not\in A_n なら an=0a_n=0

という数列 ana_n を考える。このとき

  • xlim supnAnx\in\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n なら lim supnan=1\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n=1
  • x∉lim supnAnx\not\in\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n なら lim supnan=0\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n=0

である。また,

  • xlim infnAnx\in\displaystyle\liminf_{n\to\infty} A_n なら lim infnan=1\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n=1
  • x∉lim infnAnx\not\in\displaystyle\liminf_{n\to\infty} A_n なら lim infnan=0\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n=0

つまり,集合列と数列の上極限は,指示関数(属すなら 11,属さないなら 00 を返す関数)を通じてつながっています。

説明

xlim supnAnx\in\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n
    \iff 無限に多くの nn に対して xAnx\in A_n
    \iff 無限に多くの nn に対して an=1a_n=1
    lim supnan=1\iff\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n=1

xlim infnAnx\in\displaystyle\liminf_{n\to\infty} A_n
    \iff ある nn 以降は xAnx\in A_n
    \iff ある nn 以降は an=1a_n=1
    lim infnan=1\iff\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n=1

n=1knAk\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k\geq n}A_k という記号を見てすぐに意味を理解できる人はすごいです。私は理解するまでにかなり時間がかかりました。