limsup、liminfの意味（数列・集合の上極限・下極限）

更新 2021/10/08

$\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n$ ， $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n$ などの記号で表される数列の上極限・下極限について紹介します。集合列の上極限・下極限の意味や，数列版との関係も説明します。

数列の上極限

数列の上極限の定義

数列 $a_n$ の上極限とは， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\geq n} a_k\right)$ のこと。

数列 $a_n$ の上極限を $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}a_n$ または $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n$ と書く。

上極限の定義 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\geq n} a_k\right)$ をもう少し説明すると，

$\displaystyle\sup_{k\geq n}a_k$ とは， $\{a_n,a_{n+1},a_{n+2},\cdots\}$ という集合の上限（≒最大）です。→sup（上限）とmax（最大）の違い
つまり，大雑把に言うと上極限は「 $n$ 番目以降の中での最大」が $n$ を増やしたときにどうなるか？を表す値です。
「数列を図示したときの上側の極限」とも言えます。

例

数列 $a_n=(-1)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ に対して上極限 $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n$ を求めよ。

解答

$a_n$ の最初の方の項は， $-2,\dfrac{3}{2},-\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{4},\dots$ となる。

数列を図示すると以下のようになる。 limsupの例赤い点が「上側」を表す。この赤い点の $y$ 座標は $1$ に収束するので上極限は $1$

もう少し正確に書くと，

$n$ が偶数のとき， $n$ 番目以降の中での上限は， $n$ 番目そのもの：
$\displaystyle\sup_{k\geq n}a_k=1+\dfrac{1}{n}$
$n$ が奇数のとき， $n$ 番目以降の中での上限は， $n+1$ 番目：
$\displaystyle\sup_{k\geq n}a_k=1+\dfrac{1}{n+1}$

よって， $n\to\infty$ で $\displaystyle\sup_{k\geq n}a_k$ は $1$ に収束する。つまり上極限は $1$

数列の下極限

下極限も同様に定義されます。「数列を図示したときの下側の極限」です。

数列の下極限の定義

数列 $a_n$ の下極限とは， $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\geq n} a_k\right)$ のこと。

数列 $a_n$ の下極限を $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}a_n$ または $\displaystyle\varliminf_{n\to\infty} a_n$ と書く。

さきほどの例： $a_n=(-1)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$ に対して下極限は $\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n=-1$ となります。

上極限と下極限の記号について

上極限の定義は $\sup$ の $\lim$ なので， $\limsup$ という記号は定義がわかりやすいです。
一方「数列を図示したときの上側の極限」というイメージは $\displaystyle\varlimsup_{n\to\infty} a_n$ という記号の方がわかりやすいです。

集合列の上極限と下極限

集合列の上極限の定義

集合の列 $A_1,A_2,\dots$ に対して，

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k\geq n}A_k$ を上極限集合と言い， $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n$ などと書く。
$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k\geq n}A_k$ を下極限集合と言い， $\displaystyle\liminf_{n\to\infty} A_n$ などと書く。

上極限集合・下極限集合の意味を言葉で表すと，
(1) $a\in \displaystyle\limsup_{n\to\infty}{A_n}$ $\iff a$ は無限に多くの $A_n$ に属す
(2) $a\in \displaystyle\liminf_{n\to\infty}{A_n}$ $\iff a$ が属さない $A_n$ は有限個

上極限集合の意味（1）の説明

$B_n=\displaystyle\bigcup_{k\geq n}A_k$ とは，集合 $A_n,A_{n+1},\dots$ の和集合。つまり「 $A_n$ 以降のどこか1つには属すもの」を集めた集合。

さらに， $\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}B_n$ は， $B_n$ たちの共通部分。つまり，すべての $B_n$ に属す要素を集めた集合。

よって，上極限集合は「すべての $n$ に対して， $A_n$ 以降のどこか1つには属す」を満たす要素を集めた集合。これは「無限に多くの $A_n$ に属す」を満たす要素の集合と言える。

下極限集合の意味（2）の説明

$B_n=\displaystyle\bigcap_{k\geq n}A_k$ とは，集合 $A_n,A_{n+1},\dots$ の共通部分。つまり「 $A_n$ 以降のすべてに属すもの」を集めた集合。

さらに， $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$ は， $B_n$ たちの和集合。

よって，下極限集合は「ある $n$ に対して， $A_n$ 以降のすべてに属す」を満たす要素を集めた集合。これは「属さない $A_n$ が有限個」を満たす要素の集合と言える。

上極限集合と下極限集合の間には， $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}A_n\subseteq\limsup_{n\to\infty} A_n$ という包含関係が成立します。

「属さないのが有限個」なら「無限個に属す」だからです。

数列版と集合列版の関係

集合列に対する上極限 $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n$ と，数列に対する上極限 $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n$ の関係を紹介します。

集合の列 $A_1,A_2,\dots$ と固定した要素 $x$ に対して，

$x\in A_n$ なら $a_n=1$
$x\not\in A_n$ なら $a_n=0$

という数列 $a_n$ を考える。このとき

$x\in\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n$ なら $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n=1$
$x\not\in\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n$ なら $\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n=0$

である。また，

$x\in\displaystyle\liminf_{n\to\infty} A_n$ なら $\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n=1$
$x\not\in\displaystyle\liminf_{n\to\infty} A_n$ なら $\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n=0$

つまり，集合列と数列の上極限は，指示関数（属すなら $1$ ，属さないなら $0$ を返す関数）を通じてつながっています。

説明

$x\in\displaystyle\limsup_{n\to\infty} A_n$
$\iff$ 無限に多くの $n$ に対して $x\in A_n$
$\iff$ 無限に多くの $n$ に対して $a_n=1$
$\iff\displaystyle\limsup_{n\to\infty} a_n=1$

$x\in\displaystyle\liminf_{n\to\infty} A_n$
$\iff$ ある $n$ 以降は $x\in A_n$
$\iff$ ある $n$ 以降は $a_n=1$
$\iff\displaystyle\liminf_{n\to\infty} a_n=1$

$\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k\geq n}A_k$ という記号を見てすぐに意味を理解できる人はすごいです。私は理解するまでにかなり時間がかかりました。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！