数列の発散，収束，振動の意味と具体例

更新 2021/03/07

数列の極限は，

のいずれかである。2と3の場合をいずれも発散すると言う。

最初に発散，収束，振動の意味をそれぞれ説明し，後半で具体例をいろいろ紹介します。

数列の極限の分類

収束とは：
項が進むにつれて一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくとき，数列 $a_n$ は $\alpha$ に「収束する」と言います。 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ と書きます。
発散とは：
収束しない数列をまとめて発散すると言います。
発散の中でさらに分類：
- 発散する数列の中でも，項が進むにつれていくらでも値が大きくなるとき，「正の無限大に発散する」と言います（注）。 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ と書きます。
- 同様に，項が進むにつれていくらでも値が小さくなるとき，「負の無限大に発散する」と言います。 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ と書きます。
- ここまでのいずれにも当てはまらないような数列をまとめて「振動する」と言います。

注：「正の無限大に発散」の定義を厳密に言うと，
「任意の実数 $R$ に対して，ある $N$ が存在して， $n\geq N$ なら $a_n\geq R$ 」です。

例題1（易）

数列 $a_n=\dfrac{1}{n}$ の極限を調べよ。

解答

$n$ が大きくなるにつれて $a_n$ は $0$ にいくらでも近づくので $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

つまり $0$ に収束する。

例題2（難）

数列 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$ の極限を調べよ。

解答

実は $S_n$ は $\dfrac{\pi^2}{6}$ に収束することが知られている。収束することの証明は比較的簡単だが， $\dfrac{\pi^2}{6}$ に収束することの証明はかなり大変。→バーゼル問題の初等的な証明

例題3（易）

数列 $a_n=-n$ の極限を調べよ。

解答

$n$ が大きくなるにつれて $a_n$ はいくらでも小さくなるので

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ （負の無限大に発散する）

例題4

数列 $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ の極限を調べよ。

解答

調和級数と呼ばれる有名な級数。

例題5

数列 $a_n=(-1)^n$ の極限を調べよ。

解答

$a_n$ は $-1$ と $1$ をひたすら交互に繰り返す。収束・正の無限大に発散・負の無限大に発散，のいずれにも当てはまらないので振動する。

「いくらでも大きくなる」ときに「正の無限大に発散する」と書かずに単に「発散する」と言うこともあるので注意してください。（「発散」と言うと振動も含む広い意味での「発散」なのか「正の無限大に発散」を省略したのか文脈によって判断する必要がある）。
「限りなく近づく」とか「いくらでも値が大きくなる」という表現は数学的に厳密ではありません。そこで，大学できちんと数列の極限を定義するときには $\varepsilon -\delta$ 論法（ $\varepsilon -n$ 論法とも）というものを用います。
→イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法
ただ，高校数学，大学受験の範囲では上記の（少しあいまいな？）定義を理解しておけば全く問題ありません。

振動は「バネのようなイメージ」と覚えるのではなくて「極限が定まらないもの」という消去法的な定義であることを理解しておきましょう。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！