積分

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$

$x=g(t)$ と置換すると， $$\int f(x)dx=\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$$

微分すると $f(x)$ になるような関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数と言う。

ただし，$f'$ は $f$ の微分，$G$ は $g$ の積分（$G'(x)=g(x)$）。

微分すると $f(x)$ になる関数（全体）のことを $f(x)$ の不定積分と言う。

$f(x)$ の不定積分を $\displaystyle\int f(x)dx$ と書く。

$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ とは，$F(b)-F(a)$ のことを表す。

ただし，$F(x)$ は微分すると $f(x)$ になる関数。

$y=f(x)$ と $x=a,x=b$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積は，$\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ という定積分で計算できる。

（ただし，$a\leqq x\leqq b$ において $f(x)\geqq 0$ とする）

1：三列の表をつくる。二列目に上から $f(x),f'(x),f''(x),\cdots$ と $0$ になる手前まで格納する。

2：三列目に上から $g$ の積分，$g$ の二階積分，$\cdots$ と格納する。

3：一列目に上から $+, -, +\cdots$ と交互に格納する。

4：横にかけて縦に足す。

$\displaystyle\int \log xdx=x\log x-x+C$

$$\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$$ $$\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C$$

（ただし，$a>0,a\neq 1$）

$y=f(x)$，$x=a$，$x=b$，$x$ 軸で囲まれた領域を $x$ 軸のまわりに回転させてできる図形の体積は，

$$V=\int_{a}^b\pi \{f(x)\}^2dx$$

区分求積法とは，「長方形の面積の和」で横幅を限りなく小さくしたものと $y=f(x)$ の下側部分の面積が等しいという式：

$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)$$=$$\displaystyle\int_0^1 f(x)dx$

$\mathrm{O}$ を原点とする $xy$ 平面を考える。直線 $x = 1$ 上に点 $\mathrm{A}$ を取る。直線 $\mathrm{OA}$ の $x \leqq 0$ の部分に $\mathrm{AB} = 2$ を満たす点 $\mathrm{B}$ が存在するとき, 以下の問いに答えよ。

(1) 直線 $\mathrm{OA}$ と $x$ 軸がなす角を, $x$ 軸の正方向から反時計回りを正として測って $t \, \left( - \dfrac{\pi}{2} \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ とする。$\mathrm{OB} = r \, (r \geqq 0)$ とするとき, $r$ を $t$ を用いて表せ。

(2) 点 $\mathrm{A}$ が直線 $x = 1$ 上をくまなく動くとき, 点 $\mathrm{B}$ の軌跡を $C$ とする。曲線 $C$ の $y$ 座標の最大値を求めよ。

(3) 曲線 $C$ によって囲まれる領域の面積を求めよ。

$x=g(t)$ と置換すると， $$\int f(x)dx=\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$$ である。

$x=g(t)$ と置換すると， $$\int f(x)dx=\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$$ である。

$x=g(t)$ と置換すると， $$\int f(x)dx=\int f(g(t))\dfrac{dx}{dt}dt$$ である。

$p\leqq x\leqq q$ で定義された任意の連続関数 $f(x),g(x)$ に対して， $$\left(\int_p^q f(x)^2dx\right)\left(\int_p^q g(x)^2dx\right) \geq \left(\int_p^q f(x)g(x)dx\right)^2$$ 等号成立条件は $g(x)=tf(x)$ となる $t$ が存在する（または $f(x)=0$ である）こと。

$m, n$ が $0$ 以上の整数のとき，以下のような積分公式が成立する：

(i) 第一種オイラー積分 $$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$$ (ii) 特に，$\alpha=0, \beta=1$ とすると， $$\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$$

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} &(n \text{が奇数})\\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac{\pi}{2} &(n \text{が偶数}) \end{cases}$$

$a, b > 0,\:\:p,q > 1,\:\:\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ のとき， $$\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab$$ 等号成立条件は $a^p=b^q$

$$\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\displaystyle\int_a^bf(a+b-x)dx$$

ガウス積分とは，以下のような定積分のことです。

連続関数 $y=f(x)$，$x$ 軸，$x=\alpha,x=\beta\:$ (ただし $0\leqq \alpha <\beta$)で囲まれた図形を $y$ 軸の回りに回転させてできる立体の体積 $V$ は， $$V=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi x|f(x)|dx$$ となる。

面積が $S$ である平面図形 $A$ がある。$A$ を直線 $l$ の回りに回転させてできる回転体の体積 $V$ は，

$V=2\pi g_xS=$(重心の移動距離) $\times S$

（$g_x$ は重心と回転軸の距離）

ただし，$A$ を回転させる過程で $A$ 自身とは重ならないとする。

図のように，直線 $l:y=mx$ と曲線 $y=f(x)$ で囲まれた部分を $l$ の回りに回転させてできる図形の体積は， $$\pi\cos\theta\displaystyle\int_a^b\{mx-f(x)\}^2dx$$ ただし，$\theta$ は $l$ と $x$ 軸のなす角で，$m=\tan\theta$

$x=x(t),\:y=y(t)$ と媒介変数表示された曲線 $C$ がある。 $\alpha\leq t\leq \beta$ の範囲で $t$ の増加とともに $(x(t),y(t))$ が原点中心に反時計回りに動くとき，動径が掃いた部分の面積は， $S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(xy'-yx')dt$

$y=f(x)$ で表される曲線の $a\leq x\leq b$ の部分の長さは， $$\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx$$ （ただし，$f(x)$ は微分可能で $f'(x)$ は連続とする）

半径 $r$ の円を軸のまわりに回転させてできる図形を考える。軸から円の中心までの距離を $R\:(\geq r)$ とする。

次の定積分を求めよ。

$$\int_0^1 \left( x^2 + \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \left( 1 + \dfrac{x}{(1+x^2) \sqrt{1+x^2}} \right) dx$$

$$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \log n \right)$$ をオイラーの定数（オイラー・マスケローニ定数）といいます。

$\pi$ を円周率とする。正の整数 $n$ に対し $$\begin{aligned} a_n &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{1-x^{4n}}{1+x^2} dx \\ b_n &= \int_0^{2-\sqrt{3}} \dfrac{1+x^{4n+2}}{1+x^2} dx \end{aligned}$$ とおく。

1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = \dfrac{\pi}{12}$ を示せ。
2. $3.141 < \pi < 3.142$を証明せよ。ただし $$1.7320508 < \sqrt{3} < 1.7320509$$ である。

1. $ⅹ>0$ のとき，不等式 $\log x \leqq x - 1$ を示せ。

2. 次の極限を求めよ。 $$\lim_{n \to \infty} n \int_1^2 \log \left( \dfrac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2} \right) dx$$

座標平面上の点 $\mathrm{A} (0,0)$，$\mathrm{B} (0,1)$，$\mathrm{C} (1,1)$，$\mathrm{D} (1,0)$ を考える。実数 $0 < t < 1$ に対して，線分 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$ を $t : (1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$，$\mathrm{R}_t$ とし，線分 $\mathrm{P}_t \mathrm{Q}_t$，$\mathrm{Q}_t \mathrm{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{S}_t$，$\mathrm{T}_t$ とする。さらに線分 $\mathrm{S}_t \mathrm{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{U}_t$ とする。

1. 点 $\mathrm{U}_t$ の座標を求めよ。
2. $t$ が $0 \leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線と，線分 $\mathrm{AD}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
3. $a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とする。$t$ が $0 \leqq t \leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線の長さを，$a$ の多項式の形で求めよ。

$0$ 以上の整数 $n$ と，$\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|\leq 1$ を満たす実数 $a_1,\cdots, a_n$ に対して，

$$\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}$$

(1) $\displaystyle\int_{0}^1\dfrac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}$

(2) $\displaystyle\int_{0}^1x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}$

$$P_n (x) = \dfrac{1}{2^n n!} \dfrac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n$$ と表される多項式系をルジャンドル多項式という。

任意の正の整数 $m,n$ に対して，

$\displaystyle\sum_{x=1}^nf(x)-\int_0^nf(x)dx\\ =\dfrac{1}{2}\{f(n)-f(0)\}\\\:\:+\displaystyle\sum_{k=1}^m \dfrac{b_{2k}}{(2k)!}\{f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\}\\ \:\:-\dfrac{1}{(2m)!}\displaystyle\int_0^nB_{2m}(x-\lfloor x\rfloor)f^{(2m)}(x)dx$

ただし，$f(x)$ は $0\leq x \leq n$ において $C^{2m}$ 級である関数。

• $E(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta$
  のことを第二種楕円積分という。

• $F(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta$
  のことを第一種楕円積分という。

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx\fallingdotseq\dfrac{(b-a)}{2}f(a)+\dfrac{(b-a)}{2}f(b)$

特に，$f(x)$ が1次以下の多項式なら両辺は等しい。

• $D$ を単純閉曲線（自分と交わらない閉じた曲線）で囲まれた領域とする。
• $f$ を領域 $\overline{D} = D \cup \partial D$ で正則な関数とする。

このとき $D$ の内部の任意の点 $z$ で $$f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$ となる（線積分の向きは反時計回り，より厳密には領域の内側から見て左周りに定める）。

2変数 $x,y$ を2変数 $u,v$ に変換する。

このとき $xy$ 平面上の領域 $D$ が $uv$ 平面上の領域 $E$ に一対一に対応するとき，$D$ 上の積分可能関数 $f$ の重積分は次のように計算される。 $$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_E f(x(u,v),y(u,v)) |\det J| dudv$$ ただし $|\det J|$ はヤコビ行列 $J=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{du} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$ の行列式（ヤコビアン）の絶対値である。

なお，$n$ 変数のときも同様に計算される。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

$f$ が $[a,b] \times [c,d]$ 上で

1. 可積分な連続関数
2. 非負な連続関数

のいずれかを満たすなら，以下の式が成り立つ。

$$\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy \end{aligned}$$

つまり逐次積分と重積分は一致する（積分の順序を交換できる）。

3. また，いずれかの順序での（絶対値の）積分値が有限の値になれば，積分の順序を入れ替えてよい。
4. また，有界な閉領域上での連続関数の重積分の順序は入れ替えてよい。

関数 $f(x)$ が $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ と無限級数展開されているとする。

この級数の収束半径を $r$ とすると，$|x| < r$ のもとで項別微分・項別積分ができる：

$$\begin{aligned} f'(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\\ \int f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1} + C \end{aligned}$$

$p > \dfrac{1}{2}$ に対して，次の値を求めよ。

$$\dfrac{1}{\Gamma (\frac{1}{2p})} \int_{0}^{\infty} \dfrac{\sin (x^p)}{\sqrt{x}} dx$$

ただし，正の実数 $x$ に対して，$\Gamma (x)$ は次式で与えられるものとする。 $$\Gamma (x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$$

関数 $f(x)$ に対して $$\mathscr{L} [f] (s)=\int_0^{\infty} e^{-sx}f(x)\, dx$$ という「$s$ についての関数を返す変換」をラプラス変換という。

ベータ関数とは，$p,q > 0$ に対して $$B(p,q) = \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx$$ と定義される（広義）積分である。

平面上に間隔 $d$ で平行線を引く。長さ $l\:(\leqq d)$ の針を適当に投げたとき，針が線と交わる確率は $\dfrac{2l}{\pi d}$