積分

    更新日時 2021/03/11

    置換積分を用いずに積分速度を上げる公式

    積分速度を上げる小技を紹介します。

    (xa)tdx=1t+1(xa)t+1+C(t1)\displaystyle\int (x-a)^tdx=\dfrac{1}{t+1}(x-a)^{t+1}+C \hspace{10mm} (t\neq -1)

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    シュワルツの不等式の積分形

    シュワルツの不等式の積分バージョン:

    (pqf(x)2dx)(pqg(x)2dx)(pqf(x)g(x)dx)2\displaystyle\left(\int_p^q f(x)^2dx\right)\left(\int_p^q g(x)^2dx\right)\\ \geq\displaystyle\left(\int_p^q f(x)g(x)dx\right)^2

    等号成立条件は g(x)=tf(x)g(x)=tf(x) となる tt が存在する(または f=0f=0 )こと。

    シュワルツの不等式の積分バージョンを紹介します。

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    三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式

    三角関数と指数関数の積の積分は部分積分を2回行って求めるのが定石ですが,計算量も多くミスしやすいので,公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます:

    eaxcosbxdx=eaxa2+b2(acosbx+bsinbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\cos bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b \sin bx)+C

    eaxsinbxdx=eaxa2+b2(asinbxbcosbx)+C\displaystyle\int e^{ax}\sin bxdx=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b \cos bx)+C

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    放物線と直線で囲まれた面積を高速で求める1/6公式

    6分の1公式

    16\dfrac{1}{6} 公式:

    放物線 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c と直線 y=px+qy=px+q の交点の xx 座標を α,β(α<β)\alpha, \beta\:(\alpha < \beta) とおくとき,

    放物線と直線で囲まれた部分の面積は,

    a6(βα)3\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3

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    ベータ関数の積分公式

    m,nm, n00 以上の整数のとき,以下のような積分公式が成立する(ベータ関数の積分公式):

    (i) 第一種オイラー積分

    αβ(xα)m(βx)ndx=m!n!(m+n+1)!(βα)m+n+1\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}

    (ii) 特に,α=0,β=1\alpha=0, \beta=1 とすると,

    01xm(1x)ndx=m!n!(m+n+1)!\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}

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    サイン分の1,コサイン分の1の積分

    1sinxdx=12log(1cosx1+cosx)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\sin x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}\right)+C

    1cosxdx=12log(1+sinx1sinx)+C\displaystyle\int \dfrac{1}{\cos x}dx=\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)+C

    サイン分の1,コサイン分の1の積分のやり方を解説します。方法は複数あります。

    → サイン分の1,コサイン分の1の積分

    sinのn乗,cosのn乗の積分公式

    sinnx,cosnx\sin^n x, \cos^n x の定積分は部分積分と漸化式を使って求めることができる。

    → sinのn乗,cosのn乗の積分公式

    ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

    公式1:dxx2+a2=log(x+x2+a2)\displaystyle\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\log(x+\sqrt{x^2+a^2})

    公式2:x2+a2dx=12(xx2+a2+a2log(x+x2+a2))\displaystyle\int \sqrt{x^2+a^2}dx=\dfrac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a^2}+a^2\log(x+\sqrt{x^2+a^2}))

    今回はマニアックな不定積分の公式です。 sinh\sinh (ハイパボリックサイン)の逆関数のような形が出現しています。 積分定数は省略していますが,答案では忘れないでください!

    → ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法

    ヤングの不等式の3通りの証明

    ヤングの不等式:

    a,b>0,p,q>1,1p+1q=1a, b > 0,p,q > 1, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 を満たすとき,

    app+bqqab\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab

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    対称性を用いた定積分の難しい問題の解法

    A=BA=B のとき,A=A+B2A=\dfrac{A+B}{2}

    という自明な等式を用いて定積分を計算できる場合がある

    → 対称性を用いた定積分の難しい問題の解法

    ガウス積分の公式の2通りの証明

    ガウス積分とは,以下のような定積分のことです。

    eax2dx=πa\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}dx=\sqrt{\dfrac{\pi}{a}}

    (ただし a>0a > 0

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    なぜ定積分で面積が求まるのか

    面積は微分の逆の操作を用いて求めることができる。

    一見面積とは無縁な微分という操作の逆を考えることで面積が求められるというのは驚きです。

    → なぜ定積分で面積が求まるのか

    三角関数の積の積分と直交性

    三角関数の積の積分は積和公式で和に直すことで積分できる。

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    瞬間部分積分のやり方と例題2問

    瞬間部分積分は複数回部分積分が必要な問題を即効で解く方法です,めんどくさい計算をかなり省略できます,オススメ!

    → 瞬間部分積分のやり方と例題2問

    極方程式の面積公式と例題

    極方程式と面積

    r(θ)r(\theta) が連続関数のとき,極方程式 r=r(θ)r=r(\theta) で表される曲線と θ=α,β\theta=\alpha, \beta で囲まれる部分の面積は,

    αβ12r(θ)2dθ\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}r(\theta)^2d\theta

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    積分公式一覧

    覚えておくべき積分公式をただひたすら一覧形式で列挙しました。いずれも積分後の式を微分することで確かめることが出来ます。

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    バウムクーヘン分割の例と証明

    バウムクーヘン分割の図

    バウムクーヘン分割:

    連続関数 y=f(x)y=f(x)xx 軸,x=α,x=βx=\alpha,x=\beta\: (ただし 0α<β0\leq \alpha <\beta )で囲まれた図形を yy 軸の回りに回転させてできる立体の体積 VV は,

    V=αβ2πxf(x)dxV=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi x|f(x)|dx

    難関大受験者は知っておくべき有名な求積テクニックです。

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    パップスギュルダンの定理とその証明

    パップスギュルダンの定理:

    面積が SS である平面図形 AA がある。 AA を直線 ll の回りに回転させてできる回転体の体積 VV は, V=2πgxS=V=2\pi g_xS=(重心の移動距離) ×S\times S

    gxg_x は重心と回転軸の距離)

    ただし,AA を回転させる過程で AA 自身とは重ならないとする。

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    傘型分割と斜回転体の体積

    傘型分割

    傘型分割:

    ymx,yf(x),axby\leq mx,\:y\geq f(x),\\\:a\leq x\leq b

    が定める図形を l:y=mxl:y=mx の回りに回転させてできる図形の体積 VV は,

    V=πcosθab(mxf(x))2dxV=\pi\cos\theta\displaystyle\int_a^b(mx-f(x))^2dx

    ただし,θ\thetallxx 軸のなす角で,tanθ=m\tan\theta=m

    斜回転体の体積を求めるための公式です。

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    ガウスグリーンの定理の入試への応用

    ガウスグリーンの定理

    ガウスグリーンの定理:

    x=x(t),y=y(t)x=x(t),\:y=y(t) と媒介変数表示された曲線 CC がある。 αtβ\alpha\leq t\leq \beta の範囲で tt の増加とともに (x(t),y(t))(x(t),y(t)) が原点中心に反時計回りに動くとき,動径が掃いた部分の面積は, S=αβ12(xyyx)dtS=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(xy'-yx')dt

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    曲線の長さを計算する積分公式(弧長積分)

    弧長積分1: ffgg が連続かつ微分可能で ff'gg' も連続とする。

    x=f(t),y=g(t)x=f(t), y=g(t) と媒介変数表示された曲線 CCαtβ\alpha\leq t\leq \beta の部分の長さは, αβf(t)2+g(t)2dt\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt

    弧長積分2: ff は連続かつ微分可能で ff' も連続とする。

    y=f(x)y=f(x) で表される曲線 CCaxba\leq x\leq b の部分の長さは, ab1+f(x)2dx\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx

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    n次元超球の体積の求め方と考察

    nn 次元単位超球の体積は, Vn=πn2Γ(n2+1)V_n=\dfrac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}

    Γ(x)\Gamma(x) はガンマ関数と呼ばれるものです。 xx が整数のときには Γ(x)=(x1)!\Gamma(x)=(x-1)! です。

    この記事の目標は VnV_n の導出です。ガンマ関数とか重積分をできるだけ使わずに高校数学で(ほとんど)理解できるようにしています。

    → n次元超球の体積の求め方と考察

    台形公式を用いた積分の近似とその誤差

    台形公式を使うことで定積分の値を近似的に求めることができる。

    台形公式の考え方,応用例(東大の入試問題),テイラー展開を用いた誤差の評価について解説。

    → 台形公式を用いた積分の近似とその誤差

    置換積分の公式の証明と例題

    置換積分を行うときには変数を置き換えるだけでなく,微分をかけるのを忘れないように。定積分の場合は積分区間の変更も必要。

    置換積分(不定積分)の例題→公式の証明

    置換積分(定積分)の例題→公式の証明

    の順に解説します。

    → 置換積分の公式の証明と例題

    log xの積分計算の2通りの方法と発展形

    対数関数の不定積分: logxdx=xlogxx+C\displaystyle\int \log xdx=x\log x-x+C

    対数関数の積分公式の証明および発展形について解説します。数学が得意な人にとっては前半は簡単かもしれません,発展形2がオススメです。

    CC は積分定数とします。

    → log xの積分計算の2通りの方法と発展形

    タンジェントとそのn乗の不定積分

    tanxdx=logcosx+C\displaystyle\int \tan xdx=-\log |\cos x|+C

    tan2xdx=tanxx+C\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x+C

    tannxdx=1n1tann1xtann2xdx\displaystyle\int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx

    tanx,tan2x,tannx\tan x,\tan^2x,\tan^n x の不定積分についてそれぞれ解説します。いずれもタンジェント特有の技を使います。なお,CC は積分定数です。

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    球欠,球台の体積と球冠,球帯の表面積

    球を平面で切り取った立体の体積,および側面の面積の求め方を解説します。結果を覚える必要はありませんが,導出方法はマスターしておきましょう。

    → 球欠,球台の体積と球冠,球帯の表面積

    三角関数の有理式の積分

    三角関数の有理式の積分は tanx2=t\tan\dfrac{x}{2}=t と置換することによって必ず計算できる。

    多項式÷多項式の形の式を有理式(有理関数)と言います。 sinx,cosx\sin x, \cos x , ( tanx\tan x )の有理式の積分は機械的な計算でできます!

    → 三角関数の有理式の積分

    指数関数の積分と関連する公式

    exdx=ex+C\displaystyle\int e^xdx=e^x+C

    axdx=axloga+C(a>0)\displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\log a}+C\:(a > 0)

    指数関数の不定積分,および関連するいろいろな公式について整理しました。

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    定積分で表された関数の微分の公式

    定積分で表された関数の微分の公式:

    ddxaxf(t)dt=f(x)\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)

    (ただし,f(t)f(t)tt に関する1変数の関数)

    このページでは,定積分で表された関数の微分公式の証明,例題,より一般的な公式について解説します。

    → 定積分で表された関数の微分の公式

    ボールウェイン積分

    00 以上の整数 nn と,k=1nak1\displaystyle\sum_{k=1}^n|a_k|\leq 1 を満たす実数 a1,,ana_1,\cdots, a_n に対して,

    0sinxx(k=1nsinakxakx)dx=π2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\left(\prod_{k=1}^n\dfrac{\sin a_kx}{a_kx}\right)dx=\dfrac{\pi}{2}

    非常に美しい積分公式です。高校生でも頑張れば雰囲気はつかめると思います。

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    原始関数の定義といろいろな例

    微分すると f(x)f(x) になるような関数 F(x)F(x)f(x)f(x) の原始関数と言う。

    前半は簡単な具体例です。後半は原始関数が初等関数で表せない具体例を紹介します。

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    2年生の夢(sophomore’s dream)

    Sophomore’s dream:

    (1) 011xxdx=n=11nn\displaystyle\int_{0}^1\dfrac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}

    (2) 01xxdx=n=1(n)n\displaystyle\int_{0}^1x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}

    美しい積分と級数の関係です。名前も面白いです。

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    回転体の体積を求める公式

    回転体の体積

    y=f(x)y=f(x)x=ax=ax=bx=bxx 軸で囲まれた領域を xx 軸のまわりに回転させてできる図形の体積は,

    V=abπ{f(x)}2dxV=\displaystyle\int_{a}^b\pi \{f(x)\}^2dx

    例題,証明,および回転体の体積を求める他の公式について。

    → 回転体の体積を求める公式

    ルジャンドル多項式の性質と計算

    直交多項式系の代表例であるルジャンドル多項式について,4つの同値な定義(性質)を紹介します。また,実際にルジャンドル多項式を計算してみます。

    → ルジャンドル多項式の性質と計算

    算術幾何平均とレムニスケートの長さ

    112\sqrt{2} の算術幾何平均 M(1,2)M(1,\sqrt{2}) は,単位円周の長さ l=2πl=2\pi とレムニスケートの長さ LL の比に等しい:

    M(1,2)=lLM(1,\sqrt{2})=\dfrac{l}{L}

    「算術幾何平均」や「レムニスケートの長さ」については後述します。非常に美しい定理です。

    → 算術幾何平均とレムニスケートの長さ

    x^3/e^x-1の定積分

    0x3ex1dx=π415\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{x^3}{e^x-1}dx=\dfrac{\pi^4}{15}

    Planck の法則から Stefan–Boltzmann 定数を計算するときに登場する広義積分です[1]。

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    極座標における回転体の体積公式

    極座標における回転体の体積公式

    極座標平面において,図のように θ=α,θ=β,r=r(θ)\theta=\alpha,\:\theta=\beta,\:r=r(\theta) で囲まれた,xx 軸の上側にある図形を DD とする。 DDxx 軸(始線)の回りに回転させてできる立体の体積は,

    23παβr(θ)3sinθdθ\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta d\theta

    極座標における回転体の体積公式について,例題と証明方法などを紹介します。

    → 極座標における回転体の体積公式

    サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

    サイクロイド曲線とxx軸で囲まれた部分の面積は 3πa23 \pi a^2

    xx軸周りの回転体の体積は 5π2a35\pi^2 a^3

    サイクロイド曲線の長さは 8a8a

    → サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ

    部分積分の公式と覚え方,例題

    2つの関数の積の積分を変形する部分積分の公式を紹介します。

    不定積分: f(x)g(x)dx=f(x)g(x)f(x)g(x)dx\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx

    定積分: abf(x)g(x)dx=[f(x)g(x)]ababf(x)g(x)dx\int_a^b f(x)g'(x)dx=\left[f(x)g(x)\right]_a^b-\int_a^b f'(x)g(x)dx

    → 部分積分の公式と覚え方,例題

    区分求積法の意味と例題と公式の証明

    axba \leq x \leq b において連続な関数 y=f(x)y=f(x) に対して,
    limnbank=1nf(a+(ba)kn)=abf(x)dx\lim_{n \to \infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=1}^n f\left(a+(b-a)\dfrac{k}{n}\right) =\int_a^b f(x)dx

    特に a=0,b=1a=0,b=1 のとき, limn1nk=1nf(kn)=01f(x)dx\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx

    → 区分求積法の意味と例題と公式の証明