積分
三角関数と指数関数の積の積分を一発で求める公式
三角関数と指数関数の積の積分は部分積分を2回行って求めるのが定石ですが,計算量も多くミスしやすいので,公式として覚えておくとスピードアップや検算に役立ちます:
ベータ関数の積分公式
が 以上の整数のとき,以下のような積分公式が成立する(ベータ関数の積分公式):
(i) 第一種オイラー積分 (ii) 特に, とすると,
ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法
公式1:
公式2:
今回はマニアックな不定積分の公式です。 (ハイパボリックサイン)の逆関数のような形が出現しています。 積分定数は省略していますが,答案では忘れないでください!
対称性を用いた定積分の計算(King Property)
のとき, という自明な等式を用いて定積分を計算できる場合があります。
なぜ定積分で面積が求まるのか
面積は微分の逆の操作を用いて求めることができる。
一見面積とは無縁な微分という操作の逆を考えることで面積が求められるというのは驚きです。
バームクーヘン積分の例と証明
連続関数 , 軸, (ただし )で囲まれた図形を 軸の回りに回転させてできる立体の体積 は,
難関大受験者は知っておくべき有名な求積テクニックです。
パップスギュルダンの定理とその証明
面積が である平面図形 がある。 を直線 の回りに回転させてできる回転体の体積 は, (重心の移動距離)
( は重心と回転軸の距離)
ただし, を回転させる過程で 自身とは重ならないとする。
傘型分割(傘型積分)と斜回転体の体積
が定める図形を の回りに回転させてできる図形の体積 は,
ただし, は と 軸のなす角で,
斜回転体の体積を求めるための公式です。
ガウスグリーンの定理の入試への応用
と媒介変数表示された曲線 がある。 の範囲で の増加とともに が原点中心に反時計回りに動くとき,動径が掃いた部分の面積は,
曲線の長さを計算する積分公式(弧長積分)
, が連続かつ微分可能で , も連続とする。
と媒介変数表示された曲線 の の部分の長さは,
は連続かつ微分可能で も連続とする。
で表される曲線 の の部分の長さは,
n次元超球の体積の求め方と考察
次元単位超球の体積は, となる。
はガンマ関数と呼ばれるものです。 が整数のときには です。
この記事の目標は の導出です。ガンマ関数とか重積分をできるだけ使わずに高校数学で(ほとんど)理解できるようにしています。
台形公式を用いた積分の近似とその誤差
台形公式を使うことで定積分の値を近似的に求めることができる。
台形公式の考え方,応用例(東大の入試問題),テイラー展開を用いた誤差の評価について解説。
置換積分の公式の証明と例題
置換積分を行うときには変数を置き換えるだけでなく,微分をかけるのを忘れないように。定積分の場合は積分区間の変更も必要。
置換積分(不定積分)の例題→公式の証明
置換積分(定積分)の例題→公式の証明
の順に解説します。
log xの積分計算の2通りの方法と発展形
対数関数の積分公式の証明および発展形について解説します。数学が得意な人にとっては前半は簡単かもしれません,発展形2がオススメです。
は積分定数とします。
球欠,球台の体積と球冠,球帯の表面積
球を平面で切り取った立体の体積,および側面の面積の求め方を解説します。結果を覚える必要はありませんが,導出方法はマスターしておきましょう。
三角関数の有理式の積分
三角関数の有理式の積分は と置換することによって必ず計算できる。
多項式÷多項式の形の式を有理式(有理関数)と言います。 , ( )の有理式の積分は機械的な計算でできます!
定積分で表された関数の微分の公式
(ただし, は に関する1変数の関数)
このページでは,定積分で表された関数の微分公式の証明,例題,より一般的な公式について解説します。
ルジャンドル多項式の性質と計算
直交多項式系の代表例であるルジャンドル多項式について,4つの同値な定義(性質)を紹介します。また,実際にルジャンドル多項式を計算してみます。
算術幾何平均とレムニスケートの長さ
と の算術幾何平均 は,単位円周の長さ とレムニスケートの長さ の比に等しい:
「算術幾何平均」や「レムニスケートの長さ」については後述します。非常に美しい定理です。
極座標における回転体の体積公式
極座標平面において,図のように で囲まれた, 軸の上側にある図形を とする。 を 軸(始線)の回りに回転させてできる立体の体積は,
極座標における回転体の体積公式について,例題と証明方法などを紹介します。
積分方程式の解き方
求めたい関数が被積分関数として現れるような方程式を,積分方程式といいます。この記事では,高校数学で登場する積分方程式の解き方について,例題7問でしっかり解説します。
オイラー・マクローリンの和公式
オイラー・マクローリンの和公式を紹介します。見た目はゴツいですが高校数学の範囲で理解できます。そして理解できたら楽しい定理です。
任意の正の整数 に対して,
ただし, は において 級である関数。
記号や用語の意味も含めてわかりやすく解説します。
ドーナツ(トーラス体・円環体)の体積・表面積を2通りの方法で計算
ドーナツの体積と表面積を計算してみましょう。
半径 の円を軸のまわりに回転させてできる図形を考える。軸から円の中心までの距離を とする。
このような,円を回転させてできるドーナツのような立体をトーラス体(円環体)と言います。トーラス体の表面をトーラスと言います。
楕円積分の意味と身近な4つの例
-
のことを第二種楕円積分という。 -
のことを第一種楕円積分という。
楕円積分の意味と,楕円積分が現れる4つの例を紹介します。
ガウス求積法(Gauss–Legendre 公式)
定積分を近似計算する話題です。問題設定から解説して,後半ではガウス求積法(Gaussian quadrature)を紹介します。直交多項式が出てきておもしろいです。
不定積分の意味・公式・例題
高校数学における不定積分について基礎からわかりやすく解説します。
- 不定積分の意味
- (数学II)簡単な関数の不定積分
- (数学III)いろいろな関数の不定積分
の順に解説します。
重積分の変数変換とヤコビアン
2変数 を2変数 に変換する。
このとき 平面上の領域 が 上の領域 に一対一に対応するとき, 上の積分可能関数 は次のように計算される。 ただし はヤコビアン である。
この記事では重積分の変数変換(置換積分)とその具体的な計算例を紹介します。
重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明
この記事ではバーゼル問題を重積分を用いて証明します。
変数変換のテクニックが大変美しい証明となっています。
項別微分・項別積分
関数 が と無限級数展開されているとする。
この級数の収束半径を とすると, のもとで項別微分・項別積分ができる:
項別微分は, という公式の一般化です。