積分

$$\left(\int_p^q f(x)^2dx\right)\left(\int_p^q g(x)^2dx\right) \geq \left(\int_p^q f(x)g(x)dx\right)^2$$

等号成立条件は $g(x)=tf(x)$ となる $t$ が存在する（または $f=0$ ）こと。

$m, n$ が $0$ 以上の整数のとき，以下のような積分公式が成立する（ベータ関数の積分公式）：

(i)　第一種オイラー積分 $$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$$ (ii) 特に，$\alpha=0, \beta=1$ とすると， $$\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$$

$a, b > 0,p,q > 1, \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ を満たすとき， $\dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q}\geq ab$

$$\int_a^b f(x)dx=\displaystyle\int_a^bf(a+b-x)dx$$

連続関数 $y=f(x)$ ，$x$ 軸，$x=\alpha,x=\beta\:$ (ただし $0\leq \alpha <\beta$ )で囲まれた図形を $y$ 軸の回りに回転させてできる立体の体積 $V$ は，

$V=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}2\pi x|f(x)|dx$

面積が $S$ である平面図形 $A$ がある。 $A$ を直線 $l$ の回りに回転させてできる回転体の体積 $V$ は， $V=2\pi g_xS=$(重心の移動距離) $\times S$

（$g_x$ は重心と回転軸の距離）

ただし，$A$ を回転させる過程で $A$ 自身とは重ならないとする。

$y\leq mx,\:y\geq f(x),\\\:a\leq x\leq b$

が定める図形を $l:y=mx$ の回りに回転させてできる図形の体積 $V$ は，

$V=\pi\cos\theta\displaystyle\int_a^b(mx-f(x))^2dx$

ただし，$\theta$ は $l$ と $x$ 軸のなす角で，$\tan\theta=m$

$x=x(t),\:y=y(t)$ と媒介変数表示された曲線 $C$ がある。 $\alpha\leq t\leq \beta$ の範囲で $t$ の増加とともに $(x(t),y(t))$ が原点中心に反時計回りに動くとき，動径が掃いた部分の面積は， $S=\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(xy'-yx')dt$

$f$ ，$g$ が連続かつ微分可能で $f'$ ，$g'$ も連続とする。

$x=f(t), y=g(t)$ と媒介変数表示された曲線 $C$ の $\alpha\leq t\leq \beta$ の部分の長さは， $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}dt$

$f$ は連続かつ微分可能で $f'$ も連続とする。

$y=f(x)$ で表される曲線 $C$ の $a\leq x\leq b$ の部分の長さは， $\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+f'(x)^2}dx$

$$\int \log xdx=x\log x-x+C$$

$$\frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x)$$

（ただし，$f(t)$ は $t$ に関する1変数の関数）

1. $\displaystyle\int_{0}^1\dfrac{1}{x^x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^n}$
2. $\displaystyle\int_{0}^1x^xdx=-\sum_{n=1}^{\infty}(-n)^{-n}$

任意の正の整数 $m,n$ に対して，

$$\begin{aligned} &\sum_{x=1}^nf(x)-\int_0^nf(x)dx\\ &=\dfrac{1}{2}\{f(n)-f(0)\}\\ &\quad +\sum_{k=1}^m \dfrac{b_{2k}}{(2k)!} \{ f^{(2k-1)} (n)-f^{(2k-1)} (0) \}\\ &\quad\quad -\dfrac{1}{(2m)!} \int_0^n B_{2m} (x-\lfloor x\rfloor) f^{(2m)}(x)dx \end{aligned}$$

ただし，$f(x)$ は $0\leq x \leq n$ において $C^{2m}$ 級である関数。

半径 $r$ の円を軸のまわりに回転させてできる図形を考える。軸から円の中心までの距離を $R\:(\geq r)$ とする。

• $E(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta$
  のことを第二種楕円積分という。

• $F(k,\phi)=\displaystyle\int_0^{\phi}\dfrac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta$
  のことを第一種楕円積分という。

2変数 $x,y$ を2変数 $u,v$ に変換する。

このとき $xy$ 平面上の領域 $D$ が $uv$ 上の領域 $E$ に一対一に対応するとき，$D$ 上の積分可能関数 $f$ は次のように計算される。 $$\iint_D f(x,y) dxdy = \iint_E f(x(u,v),y(u,v)) |J| dudv$$ ただし $J$ はヤコビアン $\begin{pmatrix} \frac{dx}{du} & \frac{dx}{dv}\\ \frac{dy}{du} & \frac{dy}{dv} \end{pmatrix}$ である。

$$\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$

関数 $f(x)$ が $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ と無限級数展開されているとする。

この級数の収束半径を $r$ とすると，$|x| < r$ のもとで項別微分・項別積分ができる：

$$\begin{aligned} f'(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\\ \int f(x) dx &= \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1} + C \end{aligned}$$