オイラー・マクローリンの和公式

• 公式の左辺に現れる関数の値の和 $\displaystyle\sum_{x=1}^nf(x)$ と定積分 $\displaystyle\int_0^nf(x)dx$ は近そうです（曲線の下側の面積を長方形の和で近似するイメージ）。
• その近似誤差を明示的な式で表すのが，オイラー・マクローリンの和公式です。
• 右辺の1行目を移項すると，左辺は
  $\left\{\dfrac{f(0)}{2}+\displaystyle\sum_{x=1}^{n-1}f(x)+\dfrac{f(n)}{2}\right\}-\displaystyle\int_0^nf(x)dx$
  となります。左右対称できれいですね。
• 右辺の各項の分母には階乗，分子には高階微分があり，テイラー展開となんとなく似ています。$m$ は「どこまで展開するか」を表す正の整数で，自由に決められます。
• $b_{2k}$ は定数（ベルヌーイ数），$B_{2m}(x)$ は多項式（ベルヌーイ多項式）です。詳細は後述します。$x-\lfloor x\rfloor$ は $x$ の小数部分を表します。→ガウス記号の定義と３つの性質
• $C^{2m}$ 級とは，$2m$ 回微分できて $2m$ 階導関数が連続という意味です。→C1級関数,Cn級関数などの意味と具体例

オイラー・マクローリンの和公式

$\displaystyle\sum_{x=1}^nf(x)-\int_0^nf(x)dx\\ =\dfrac{1}{2}\{f(n)-f(0)\}\\\:\:+\displaystyle\sum_{k=1}^m \dfrac{b_{2k}}{(2k)!}\{f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(0)\}\\ \:\:-\dfrac{1}{(2m)!}\displaystyle\int_0^nB_{2m}(x-\lfloor x\rfloor)f^{(2m)}(x)dx$

を使って，高校数学で習う $\displaystyle\sum_{x=1}^n x^2=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ という式を導いてみます。

同様に $f(x)=x^k$ とすることで，$k$ 乗和の公式が導出できます。

公式に現れるベルヌーイ数 $b_n$ とベルヌーイ多項式 $B_n(x)$ の定義を紹介します。いくつか同値な定義がありますが，そのうちの1つです。

ベルヌーイ数 $b_n$ は，二項係数を含む漸化式で定義されます：

具体的に計算すると，$b_0=1,b_1=-\dfrac{1}{2},b_2=\dfrac{1}{6}$ となります。

ベルヌーイ多項式 $B_n(x)$ は，ベルヌーイ数と二項係数を使って定義される $n$ 次多項式です：

具体的に計算すると，$B_0(x)=1,B_1(x)=x-\dfrac{1}{2},B_2(x)=x^2-x+\dfrac{1}{6}$ となります。

ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式について，以下の性質が成り立ちます。

2～4は定義にもとづいて簡単な計算をするだけで確認できます。1の証明はベルヌーイ数とゼータ関数も参照してください。

オイラー・マクローリンの和公式の証明の肝は「部分積分」です。

参考文献：ベルヌーイ数が展開する数学の分野（PDF）
（ベルヌーイ数に関するさまざまな話題がわかりやすく書かれており，おすすめです）