ベルヌーイ数とゼータ関数 | 高校数学の美しい物語

ベルヌーイ数の計算

ベルヌーイ数を計算してみましょう。

$\dfrac{x}{e^x-1}$ の高階微分を直接計算をしても良いですが，今回は $e^x$ のマクローリン展開を利用して計算してみます。

定義に基づいたベルヌーイ数の計算

$\begin{aligned} &\dfrac{x}{e^x-1}\\ &= \dfrac{x}{x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!} + \cdots}\\ &= \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3!} + \cdots}\\ &= 1 - \left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3!} +\cdots \right) + \left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3!} + \cdots \right)^2 + \cdots \end{aligned}$

と変形できる。 $x^4$ の項まで計算してみると $\dfrac{x}{e^x-1} = 1 - \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{12} x^2 - \dfrac{1}{720} x^4 + \cdots$ となる。つまり，
$B_0 = 1$ ， $B_1 = -\dfrac{1}{2}$ ， $B_2 = \dfrac{1}{6}$ ， $B_3=0$ ， $B_4= -\dfrac{1}{30}$ となる。ちなみに，6乗まで頑張ると， $B_5=0$ ， $B_6=\dfrac{1}{42}$ がわかる。

奇数番目のベルヌーイ数

定理1

$n$ を $3$ 以上の奇数とするとき， $B_n=0$ である。

証明

$\dfrac{x}{e^x-1} + \dfrac{1}{2} x$ は偶関数である。実際 $\begin{aligned} \dfrac{-x}{e^{-x}-1} - \dfrac{1}{2} x &= \dfrac{x}{1-e^{-x}}-\dfrac{1}{2} x\\ &= \dfrac{2e^x - e^x + 1}{2(e^x -1)} x\\ &= \dfrac{e^x-1 +2}{2(e^x-1)} x\\ &= \dfrac{x}{e^x - 1} + \dfrac{1}{2} x \end{aligned}$ と変形できる。

つまり， $\dfrac{x}{e^x-1} - \dfrac{1}{2} x$ の冪級数展開に奇数次の項は現れないので定理1が成立。

ベルヌーイ数を与える漸化式

級数展開からベルヌーイ数を計算するのは大変でした。実はもっと簡単な方法があります。

定理2(ベルヌーイ数の漸化式)

$B_n = - \dfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1}\mathrm{C}_{k} B_k$ （ただし $B_0=1$ とする）

漸化式の導出

自明な式 $1 = \dfrac{x}{e^x-1} \cdot \dfrac{e^x-1}{x}$ の右辺の各項を級数展開すると $1 = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} x^{n-1} \right)$ 右辺を展開すると，

$\begin{aligned} 1 &= \left( \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} x^{n-1} \right)\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n \dfrac{B_k}{k!} \dfrac{1}{(n-k+1)!} \right) x^n\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(n+1)!} {}_{n+1} \mathrm{C}_{k} B_k \right) x^n\\ \end{aligned}$

$x^n$ の係数を比較することで $0 = \sum_{k=0}^n {}_{n+1} \mathrm{C}_{k} B_k$ を得る。移項すると ${}_{n+1}\mathrm{C}_nB_n = - \sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1} \mathrm{C}_{k} B_k$ つまり $B_n = - \dfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1} \mathrm{C}_{k} B_k$ という漸化式が得られる。

なお，この漸化式から帰納的にベルヌーイ数が有理数であることが示されます。

ベルヌーイ多項式

ベルヌーイ多項式を $B_n (x) = \sum_{k=0}^n {}_{n} \mathrm{C}_{k} B_k x^{n-k}$ と定めます。

明らかに $B_n (0) = B_n$ です。

ベルヌーイ多項式をいくつか計算すると $\begin{aligned} B_0 (x) &= 1\\ B_1 (x) &= x - \dfrac{1}{2}\\ B_2 (x) &= x^2 - x +\dfrac{1}{6}\\ B_3 (x) &= x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{1}{2} x\\ B_4 (x) &= x^4 - 2x^3 + x^2 - \dfrac{1}{30} \end{aligned}$ となります。

いきなりですが，べき乗の和の公式を思い出しましょう。 $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{m-1} k &= \dfrac{1}{2} m(m-1)\\ \sum_{k=1}^{m-1} k^2 &= \dfrac{1}{6} m(m-1)(2m-1)\\ \sum_{k=1}^{m-1} k^3 &= \dfrac{1}{4} m^2 (m-1)^2 \end{aligned}$

これらは，ベルヌーイ多項式と「定数倍」と「定数項」を除いて一致します！　実際，次の定理が成立します。

定理3

$\sum_{x=1}^{m-1} x^{n} = \dfrac{1}{n+1} (B_{n+1} (m) - B_{n+1})$

証明

まず $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n (x)}{n!} t^n = \dfrac{te^{xt}}{e^t-1}$ であることを示す。

ベルヌーイ多項式の定義を元に式変形をする。 $\begin{aligned} &\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n (x)}{n!} t^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{{}_{n} \mathrm{C}_k B_k}{n!} x^{n-k} t^n\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} \dfrac{B_k t^k}{k!} \dfrac{(xt)^{n-k}}{(n-k)!}\\ &= \left(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n t^n}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(xt)^{n}}{n!}\right)\\ &= \dfrac{t}{e^t-1} \cdot e^{xt}\\ &= \dfrac{te^{xt}}{e^t-1} \end{aligned}$

なお，3つ目の等号は， $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n t^n}{n!}$ ， $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(xt)^{n}}{n!}$ が絶対収束することから従う。（合成積（畳み込み）の意味と応用3つを参照）

よって，

$\begin{aligned} &\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n (x+1)}{n!} t^n \\ &= \dfrac{te^{(x+1)t}}{e^t-1}\\ &= \dfrac{e^t}{e^t-1} te^{xt}\\ &= \left( 1 + \dfrac{1}{e^t-1} \right) te^{xt}\\ &= t e^{xt} + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n (x)}{n!} t^n\\ &=B_0 (x) + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \dfrac{B_n (x)}{n!} \right) t^n \end{aligned}$

となる。 $t^{n+1}$ の係数を比較することで $\dfrac{B_{n+1} (x+1)}{(n+1)!} = \dfrac{x^{n}}{n!} + \dfrac{B_{n+1} (x)}{(n+1)!}$ すなわち， $x^{n} = \dfrac{1}{n+1} (B_{n+1} (x+1) - B_{n+1} (x))$ を得る。こうして $\sum_{x=0}^{m-1} x^{n} = \dfrac{1}{n+1} (B_{n+1} (m) - B_{n+1})$

なお，ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式はオイラー・マクローリンの和公式にも登場します。

ファウルハーバーの公式

べき乗の和を，ベルヌーイ数で明示的に表す公式もおもしろいです。

ファウルハーバーの公式

$\sum_{t=1}^nt^k=\dfrac{1}{k+1}\sum_{i=1}^{k+1}(-1)^{\delta_{i,k}}{}_{k+1}\mathrm{C}_iB_{k+1-i}n^i$

→4乗の和，べき乗の和の公式

ゼータ関数

累乗和の公式と関連するということは，ゼータ関数との関連もありそうです。
実際，ベルヌーイ数はゼータ関数と非常に深い関わりがあります。
公式
nnn が 222 以上の整数のとき，
ζ(1−n)=(−1)n−1nBn
\zeta (1-n) = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} B_n
ζ(1−n)=n(−1)n−1​Bn​
また，nnn が偶数のとき
ζ(n)=−(2πi)n2⋅n!Bn
\zeta (n) = -\dfrac{(2\pi i)^n}{2 \cdot n!} B_n
ζ(n)=−2⋅n!(2πi)n​Bn​
証明は複素解析と数論の知識が必要となるため省略します。
この公式を用いてゼータの値を計算していきます。
第1公式奇妙な無限和1つ目の公式に n=2n=2n=2 を代入することで
ζ(−1)=−12B2=−112
\zeta (-1) = - \dfrac{1}{2} B_2 = -\dfrac{1}{12}
ζ(−1)=−21​B2​=−121​
を得ます。ζ(−1)=∑n=1∞1n−1=∑n=1∞n\displaystyle \zeta (-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} nζ(−1)=n=1∑∞​n−11​=n=1∑∞​n と考える(※)と
1+2+3+⋯=−112
1 + 2 + 3 + \cdots = -\dfrac{1}{12}
1+2+3+⋯=−121​
という式を得ます（ただし，※の1つめの等号は正しくないです）。
自明な零点1つ目の公式に 333 以上の奇数を代入しましょう。333 以上の奇数 nnn に対してベルヌーイ数 BnB_nBn​ は 000 になるのでした。n=2m+1n = 2m + 1n=2m+1 と表すと
ζ(1−n)=ζ(−2m)=0
\zeta (1-n) = \zeta (-2m) = 0
ζ(1−n)=ζ(−2m)=0
が得られます。これが自明な零点というものです。
第2公式バーゼル問題n=2n=2n=2 を代入しましょう。
ζ(2)=−(2πi)22⋅2!B2=−−4π24⋅16=π26\begin{aligned}
\zeta (2) &= - \dfrac{(2\pi i)^2}{2 \cdot 2!} B_2\\
&= - \dfrac{-4\pi^2}{4} \cdot \dfrac{1}{6}\\
&= \dfrac{\pi^2}{6}
\end{aligned}ζ(2)​=−2⋅2!(2πi)2​B2​=−4−4π2​⋅61​=6π2​​
こうして バーゼル問題 の解が得られます。
その他の計算バーゼル問題 の記事に触れられていた n=4,6n=4,6n=4,6 のケースも計算してみます。
ζ(4)=−(2πi)42⋅4!B4=−16π448⋅(−130)=π490ζ(6)=−(2πi)62⋅6!B6=−−64π61440⋅(142)=π6945\begin{aligned}
\zeta (4) &= - \dfrac{(2\pi i)^4}{2 \cdot 4!} B_4\\
&= - \dfrac{16\pi^4}{48} \cdot \left( -\dfrac{1}{30} \right)\\
&= \dfrac{\pi^4}{90}\\
\zeta (6) &= - \dfrac{(2\pi i)^6}{2 \cdot 6!} B_6\\
&= - \dfrac{-64\pi^6}{1440} \cdot \left(\dfrac{1}{42}\right)\\
&= \dfrac{\pi^6}{945}\\
\end{aligned}ζ(4)ζ(6)​=−2⋅4!(2πi)4​B4​=−4816π4​⋅(−301​)=90π4​=−2⋅6!(2πi)6​B6​=−1440−64π6​⋅(421​)=945π6​​
第2公式とベルヌーイ数が有理数であることから π−2nζ(2n)\pi^{-2n}\zeta (2n)π−2nζ(2n) は有理数になることが示されます。
偶数のゼータはベルヌーイ数により解き明かされましたが，奇数のゼータは非常に謎が多いです。大きな未解決問題ともなっています。ζ(3)\zeta (3)ζ(3) に関してはアペリーの定理というものがあります。是非調べてみてください。
ガンマ関数とゼータ関数を結ぶ公式にベルヌーイの母関数が出てきます。非常におもしろいですね。