ベルヌーイ数とゼータ関数

更新日時 2023/08/27
ベルヌーイ数の定義

ベルヌーイ数 BnB_n xex1=n=0Bnn!xn \dfrac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^n と定める。

xex1\dfrac{x}{e^x-1}ベルヌーイの母関数 ということがあります。

ベルヌーイ数は数学において非常に重要な数です。特に nn 乗の和(べき乗の和)の公式・ゼータ関数と深い関係があります。

ベルヌーイ数の計算

ベルヌーイ数を計算してみましょう。

xex1\dfrac{x}{e^x-1} の高階微分を直接計算をしても良いですが,今回は exe^x のマクローリン展開を利用して計算してみます。

定義に基づいたベルヌーイ数の計算

xex1=xx+x22!+x33!+=11+x2+x23!+=1(x2+x23!+)+(x2+x23!+)2+\begin{aligned} &\dfrac{x}{e^x-1}\\ &= \dfrac{x}{x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!} + \cdots}\\ &= \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3!} + \cdots}\\ &= 1 - \left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3!} +\cdots \right) + \left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{x^2}{3!} + \cdots \right)^2 + \cdots \end{aligned}

と変形できる。x4x^4 の項まで計算してみると xex1=112x+112x21720x4+ \dfrac{x}{e^x-1} = 1 - \dfrac{1}{2} x + \dfrac{1}{12} x^2 - \dfrac{1}{720} x^4 + \cdots となる。つまり,
B0=1B_0 = 1B1=12B_1 = -\dfrac{1}{2}B2=16B_2 = \dfrac{1}{6}B3=0B_3=0B4=130B_4= -\dfrac{1}{30} となる。ちなみに,6乗まで頑張ると,B5=0B_5=0B6=142B_6=\dfrac{1}{42} がわかる。

奇数番目のベルヌーイ数

定理1

nn33 以上の奇数とするとき,Bn=0B_n=0 である。

証明

xex1+12x\dfrac{x}{e^x-1} + \dfrac{1}{2} x は偶関数である。実際 xex112x=x1ex12x=2exex+12(ex1)x=ex1+22(ex1)x=xex1+12x\begin{aligned} \dfrac{-x}{e^{-x}-1} - \dfrac{1}{2} x &= \dfrac{x}{1-e^{-x}}-\dfrac{1}{2} x\\ &= \dfrac{2e^x - e^x + 1}{2(e^x -1)} x\\ &= \dfrac{e^x-1 +2}{2(e^x-1)} x\\ &= \dfrac{x}{e^x - 1} + \dfrac{1}{2} x \end{aligned} と変形できる。

つまり,xex112x\dfrac{x}{e^x-1} - \dfrac{1}{2} x の冪級数展開に奇数次の項は現れないので定理1が成立。

ベルヌーイ数を与える漸化式

級数展開からベルヌーイ数を計算するのは大変でした。実はもっと簡単な方法があります。

定理2(ベルヌーイ数の漸化式)

Bn=1n+1k=0n1n+1CkBk B_n = - \dfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1}\mathrm{C}_{k} B_k

漸化式の導出

自明な式 1=xex1ex1x 1 = \dfrac{x}{e^x-1} \cdot \dfrac{e^x-1}{x} の右辺の各項を級数展開すると 1=(n=0Bnn!xn)(n=11n!xn1) 1 = \left( \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} x^{n-1} \right) 右辺を展開すると,

1=(n=0Bnn!xn)(n=11n!xn1)=n=0(k=0nBkk!1(nk+1)!)xn=n=0(k=0n1(n+1)!n+1CkBk)xn\begin{aligned} 1 &= \left( \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^n \right) \cdot \left( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n!} x^{n-1} \right)\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n \dfrac{B_k}{k!} \dfrac{1}{(n-k+1)!} \right) x^n\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{(n+1)!} {}_{n+1} \mathrm{C}_{k} B_k \right) x^n\\ \end{aligned}

xnx^n の係数を比較することで 0=k=0nn+1CkBk 0 = \sum_{k=0}^n {}_{n+1} \mathrm{C}_{k} B_k を得る。移項すると n+1CnBn=k=0n1n+1CkBk {}_{n+1}\mathrm{C}_nB_n = - \sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1} \mathrm{C}_{k} B_k つまり Bn=1n+1k=0n1n+1CkBkB_n = - \dfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n+1} \mathrm{C}_{k} B_k という漸化式が得られる。

なお,この漸化式から帰納的にベルヌーイ数が有理数であることが示されます。

ベルヌーイ多項式

ベルヌーイ多項式 Bn(x)=k=0nnCkBkxnk B_n (x) = \sum_{k=0}^n {}_{n} \mathrm{C}_{k} B_k x^{n-k} と定めます。

明らかに Bn(0)=BnB_n (0) = B_n です。

ベルヌーイ多項式をいくつか計算すると B0(x)=1B1(x)=x12B2(x)=x2x+16B3(x)=x332x2+12xB4(x)=x42x3+x2130\begin{aligned} B_0 (x) &= 1\\ B_1 (x) &= x - \dfrac{1}{2}\\ B_2 (x) &= x^2 - x +\dfrac{1}{6}\\ B_3 (x) &= x^3 - \dfrac{3}{2} x^2 + \dfrac{1}{2} x\\ B_4 (x) &= x^4 - 2x^3 + x^2 - \dfrac{1}{30} \end{aligned} となります。

いきなりですが,べき乗の和の公式 を思い出しましょう。 k=1m1k=12m(m1)k=1m1k2=16m(m1)(2m1)k=1m1k3=14m2(m+1)2\begin{aligned} \sum_{k=1}^{m-1} k &= \dfrac{1}{2} m(m-1)\\ \sum_{k=1}^{m-1} k^2 &= \dfrac{1}{6} m(m-1)(2m-1)\\ \sum_{k=1}^{m-1} k^3 &= \dfrac{1}{4} m^2 (m+1)^2 \end{aligned}

これらは,ベルヌーイ多項式と「定数倍」と「定数項」を除いて一致します! 実際,次の定理が成立します。

定理3

x=1m1xn=1n+1(Bn+1(m)Bn+1) \sum_{x=1}^{m-1} x^{n} = \dfrac{1}{n+1} (B_{n+1} (m) - B_{n+1})

証明

まず n=0Bn(x)n!tn=textet1 \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n (x)}{n!} t^n = \dfrac{te^{xt}}{e^t-1} であることを示す。

ベルヌーイ多項式の定義を元に式変形をする。 n=0Bn(x)n!tn=n=0k=0nCkBkn!xnktn=n=0k=0Bktkk!(xt)nk(nk)!=(n=0Bntnn!)(n=0(xt)nn!)=tet1ext=textet1\begin{aligned} &\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n (x)}{n!} t^n \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{{}_{n} \mathrm{C}_k B_k}{n!} x^{n-k} t^n\\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{B_k t^k}{k!} \dfrac{(xt)^{n-k}}{(n-k)!}\\ &= \left(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n t^n}{n!}\right) \left(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(xt)^{n}}{n!}\right)\\ &= \dfrac{t}{e^t-1} \cdot e^{xt}\\ &= \dfrac{te^{xt}}{e^t-1} \end{aligned}

なお,3つ目の等号は,n=0Bntnn!\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n t^n}{n!}n=0(xt)nn!\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(xt)^{n}}{n!} が絶対収束することから従う。(合成積(畳み込み)の意味と応用3つ を参照)

よって,

n=0Bn(x+1)n!tn=te(x+1)tet1=etet1text=(1+1et1)text=text+n=0Bn(x)n!tn=B0(x)+n=1(xn1(n1)!+Bn(x)n!)tn\begin{aligned} &\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n (x+1)}{n!} t^n \\ &= \dfrac{te^{(x+1)t}}{e^t-1}\\ &= \dfrac{e^t}{e^t-1} te^{xt}\\ &= \left( 1 + \dfrac{1}{e^t-1} \right) te^{xt}\\ &= t e^{xt} + \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n (x)}{n!} t^n\\ &=B_0 (x) + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} + \dfrac{B_n (x)}{n!} \right) t^n \end{aligned}

となる。tn+1t^{n+1} の係数を比較することで Bn+1(x+1)(n+1)!=xnn!+Bn+1(x)(n+1)! \dfrac{B_{n+1} (x+1)}{(n+1)!} = \dfrac{x^{n}}{n!} + \dfrac{B_{n+1} (x)}{(n+1)!} すなわち, xn=1n+1(Bn+1(x+1)Bn+1(x)) x^{n} = \dfrac{1}{n+1} (B_{n+1} (x+1) - B_{n+1} (x)) を得る。こうして x=0m1xn=1n+1(Bn+1(m)Bn+1) \sum_{x=0}^{m-1} x^{n} = \dfrac{1}{n+1} (B_{n+1} (m) - B_{n+1})

なお,ベルヌーイ数とベルヌーイ多項式はオイラー・マクローリンの和公式にも登場します。

ζ\zeta

累乗和の公式と関連するということは,ゼータ関数との関連もありそうです。

実際,ベルヌーイ数はゼータ関数と非常に深い関わりがあります。

公式

nn22 以上の整数のとき, ζ(1n)=(1)n1nBn \zeta (1-n) = \dfrac{(-1)^{n-1}}{n} B_n

また,nn が偶数のとき ζ(n)=(2πi)n2n!Bn \zeta (n) = -\dfrac{(2\pi i)^n}{2 \cdot n!} B_n

証明は複素解析と数論の知識が必要となるため省略します。

この公式を用いてゼータの値を計算していきます。

第1公式

奇妙な無限和

1つ目の公式に n=2n=2 を代入することで ζ(1)=12B2=112 \zeta (-1) = - \dfrac{1}{2} B_2 = -\dfrac{1}{12} を得ます。ζ(1)=n=11n1=n=1n\displaystyle \zeta (-1) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{-1}} = \sum_{n=1}^{\infty} n と考える(※)と 1+2+3+=112 1 + 2 + 3 + \cdots = -\dfrac{1}{12} という式を得ます(ただし,※の1つめの等号は正しくないです)。

自明な零点

1つ目の公式に 33 以上の奇数を代入しましょう。33 以上の奇数 nn に対してベルヌーイ数 BnB_n00 になるのでした。n=2m+1n = 2m + 1 と表すと ζ(1n)=ζ(2m)=0 \zeta (1-n) = \zeta (-2m) = 0 が得られます。これが自明な零点というものです。

第2公式

バーゼル問題

n=2n=2 を代入しましょう。

ζ(2)=(2πi)222!B2=4π2416=π26\begin{aligned} \zeta (2) &= - \dfrac{(2\pi i)^2}{2 \cdot 2!} B_2\\ &= - \dfrac{-4\pi^2}{4} \cdot \dfrac{1}{6}\\ &= \dfrac{\pi^2}{6} \end{aligned}

こうして バーゼル問題 の解が得られます。

その他の計算

バーゼル問題 の記事に触れられていた n=4,6n=4,6 のケースも計算してみます。

ζ(4)=(2πi)424!B4=16π448(130)=π490ζ(6)=(2πi)626!B6=64π61440(142)=π6945\begin{aligned} \zeta (4) &= - \dfrac{(2\pi i)^4}{2 \cdot 4!} B_4\\ &= - \dfrac{16\pi^4}{48} \cdot \left( -\dfrac{1}{30} \right)\\ &= \dfrac{\pi^4}{90}\\ \zeta (6) &= - \dfrac{(2\pi i)^6}{2 \cdot 6!} B_6\\ &= - \dfrac{-64\pi^6}{1440} \cdot \left(\dfrac{1}{42}\right)\\ &= \dfrac{\pi^6}{945}\\ \end{aligned}

第2公式とベルヌーイ数が有理数であることから π2nζ(2n)\pi^{-2n}\zeta (2n) は有理数になることが示されます。

偶数のゼータはベルヌーイ数により解き明かされましたが,奇数のゼータは非常に謎が多いです。大きな未解決問題ともなっています。ζ(3)\zeta (3) に関してはアペリーの定理というものがあります。是非調べてみてください。

ガンマ関数とゼータ関数を結ぶ公式にベルヌーイの母函数が出てきます。非常におもしろいですね。