ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質

$$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$$

また，任意の正の整数 $n$ に対して，

$$\begin{aligned} \Gamma(n+1) &= \int_0^{\infty}t^{n}e^{-t}dt\\ &=\big[ -t^{n}e^{-t} \big]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-nt^{n-1}e^{-t}\}dt\\ &= 0+n\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\ &= n\Gamma(n) \end{aligned}$$

以上より $\Gamma(n+1)=n!$，$\Gamma(1)=0!$ となる。

$$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$$

ここで $t=u^2$ と置換すると，上式は

$$\begin{aligned} &\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\ &=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\ &=\sqrt{\pi} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Gamma(x) &=\lim_{n\to\infty}\int_0^nt^{x-1}e^{-t}dt\\ &=\lim_{n\to\infty}\int_0^nt^{x-1}\left(1-\dfrac{t}{n}\right)^{n}dt \end{aligned}$$

（→2つめの等号については後ほど補足）

極限の中身を $a_n$ とおく。$\dfrac{t}{n}=u$ と置換すると，

$$a_n=n^{x} \int_0^1 u^{x-1} (1-u)^n du$$

部分積分を $n+1$ 回すると，$(1-u)^n$ の微分が消えてくれて，結局

$$a_n=n^x\dfrac{n!}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}$$

となる。

例として，$n=4$ の場合について確認する。一般の場合も同様。

$$\begin{aligned} \Gamma(4) &= \lim_{n\to\infty}\dfrac{n^4n!}{4\times 5\times \cdots\times (n+4)}\\ &=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n^4\times 3!}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\\ &=3! \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right) &=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n}n!}{\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{5}{2}\times\cdots\times\frac{2n+1}{2}}\\ &=\lim_{n\to\infty} \dfrac{2\sqrt{n} (2n)!!}{(2n+1)!!} \end{aligned}$$

よって，

$$\Gamma\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{4n\{(2n)!!\}^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!(2n+1)}$$

右辺は，ウォリスの公式より $\pi$ に収束する。