ベータ関数の積分公式

$I(m, n)=\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx$ とおく。

部分積分により，

$I(m, n)\\ =\left[\dfrac{x^{m+1}}{m+1}(1-x)^n\right]^1_0+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{m+1}}{m+1}n(1-x)^{n-1}dx\\ =\dfrac{n}{m+1}I(m+1, n-1)\\ =\dfrac{n}{m+1}\dfrac{n-1}{m+2}I(m+2, n-2)\\ =\cdots \\ =\dfrac{m!n!}{(m+n)!}I(m+n, 0)\\ =\dfrac{m!n!}{(m+n)!}\displaystyle\int_{0}^{1}x^{m+n}dx\\ =\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$

変形のイメージを図に示す。

これで公式 (ii) が証明できたので，次は（i）を示す。

公式(ii)において積分区間を $\alpha$ から $\beta$ にするために，$y=(\beta-\alpha)x+\alpha$ と置換すると，

$x^m(1-x)^n=\dfrac{(y-\alpha)^m(\beta-y)^n}{(\beta-\alpha)^{m+n}},\:\dfrac{dy}{dx}=\beta-\alpha$ より，

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (y-\alpha)^m(\beta-y)^n(\beta-\alpha)^{-(m+n+1)}dy=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$ となる。

両辺に $(\beta-\alpha)^{m+n+1}$ をかけると公式(i)になる。