ベータ関数の積分公式

$$I(m, n)= \int_0^1 x^m(1-x)^ndx$$ とおく。

部分積分により，

$$\begin{aligned} &I(m, n)\\ &=\left[\dfrac{x^{m+1}}{m+1} (1-x)^n\right]^1_0 + \int_{0}^{1}\dfrac{x^{m+1}}{m+1}n(1-x)^{n-1}dx\\ &=\dfrac{n}{m+1}I(m+1, n-1)\\ &=\dfrac{n}{m+1}\dfrac{n-1}{m+2}I(m+2, n-2)\\ &=\cdots \\ &=\dfrac{m!n!}{(m+n)!}I(m+n, 0)\\ &=\dfrac{m!n!}{(m+n)!}\displaystyle\int_{0}^{1}x^{m+n}dx\\ &=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!} \end{aligned}$$

変形のイメージを図に示す。

これで公式 (ii) が証明できたので，次は（i）を示す。

公式(ii)において積分区間を $\alpha$ から $\beta$ にするために，$y=(\beta-\alpha)x+\alpha$ と置換すると，

$$x^m(1-x)^n=\dfrac{(y-\alpha)^m(\beta-y)^n}{(\beta-\alpha)^{m+n}}\\ \dfrac{dy}{dx}=\beta-\alpha$$ より，

$$\begin{aligned} &\int_{\alpha}^{\beta} (y-\alpha)^m(\beta-y)^n(\beta-\alpha)^{-(m+n+1)}dy\\ &=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!} \end{aligned}$$ となる。

両辺に $(\beta-\alpha)^{m+n+1}$ をかけると公式(i)になる。

1. 定義式の積分について $t = 1-s$ と置換すると計算できる。

2. 部分積分を用いる： $$\begin{aligned} &p \mathrm{B} (p,q+1)\\ &= \int_0^1 px^{p-1} (1-x)^{q}dx\\ &= \Big[ x^p (1-x)^{q} \Big]_0^1 + \int_0^1 qx^p (1-x)^{q-1} dx \\ &= q\mathrm{B} (p+1,q) \end{aligned}$$

3. 右辺から計算する： $$\begin{aligned} &\mathrm{B} (p+1,q) + \mathrm{B} (p,q+1)\\ &= \int_0^1 \{ x^p (1-x)^{q-1} + x^{p-1} (1-x)^q \} dx\\ &= \int_0^1 \{ x + (1-x) \} x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ &= \int_0^1 x^{p-1} (1-x)^{q-1} dx\\ &= \mathrm{B} (p,q) \end{aligned}$$