ベータ関数の積分公式

更新日時 2021/03/07

ベータ関数の積分公式

$m, n$ が $0$ 以上の整数のとき，以下のような積分公式が成立する：

(i)　第一種オイラー積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!} (\beta-\alpha)^{m+n+1}$ (ii) 特に， $\alpha=0, \beta=1$ とすると， $\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$

ベータ関数の積分公式の応用

例えば，(i) で $m=n=1$ とすると， $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)dx=\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}$ となり，放物線と直線で囲まれた部分の面積を求める有名公式になります。
また，三次関数と直線で囲まれた部分の面積を求める際に出てくる積分 $a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)^2dx$ も，(i) で $m=1, n=2$ とおくことで，一瞬で計算できます： $a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(\beta-x)^2dx=\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^4$
傘型分割を使う問題でも大活躍します。→傘型分割（傘型積分）と斜回転体の体積

ベータ関数の積分公式の証明

この公式を証明せよという問題が某予備校の全国模試や大学入試問題として出題されたこともあります。証明方法も理解しておきましょう。

方針

まず，公式 (ii)

$\int_0^1 x^m(1-x)^ndx=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$

を証明します。関数の積の積分なので部分積分を用います。(i)は，(ii)をうまく変数変換すると導けます。

証明

$I(m, n)=\displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^ndx$ とおく。

部分積分により，

$I(m, n)\\ =\left[\dfrac{x^{m+1}}{m+1}(1-x)^n\right]^1_0+\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{x^{m+1}}{m+1}n(1-x)^{n-1}dx\\ =\dfrac{n}{m+1}I(m+1, n-1)\\ =\dfrac{n}{m+1}\dfrac{n-1}{m+2}I(m+2, n-2)\\ =\cdots \\ =\dfrac{m!n!}{(m+n)!}I(m+n, 0)\\ =\dfrac{m!n!}{(m+n)!}\displaystyle\int_{0}^{1}x^{m+n}dx\\ =\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$