いろんな関数

    更新日時 2021/03/11

    二変数の二次関数

    二変数の二次関数

    f(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+ff(x, y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

    に関する問題は入試や定期試験で頻出なので,解き方を3つ紹介します。

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    放物線の二接線の交点

    放物線における二本の接線

    公式1:放物線 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 上の二点 A,BA,B における接線の交点を PP とおくとき,PPxx 座標は A,BA,Bxx 座標の平均となる

    公式2:図において S:T=2:1S:T=2:1 である

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    三次関数の対称性と4等分の法則

    三次関数の対称性

    三次関数のグラフに関して以下の性質が成り立つ

    対称性1:(変曲点に関して)点対称である

    対称性2:図において,A,B,C,D,EA,B,C,D,E は等間隔に並んでいる(4等分の法則)

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    二次関数の決定とその背景

    二次関数の決定とは,与えられた条件を満たす二次関数を決定する(求める)問題のことです。

    → 二次関数の決定とその背景

    シンプソンの公式の証明と例題

    シンプソンの公式:

    f(x)f(x) が三次以下の関数のとき,

    abf(x)dx=(ba)6{f(a)+4f(a+b2)+f(b)}\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\dfrac{(b-a)}{6}\{f(a)+4f(\dfrac{a+b}{2})+f(b)\}

    三次関数の定積分を素早く計算(検算)することができます!

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    グラフの平行移動の証明と例

    グラフの平行移動の公式:

    関数のグラフを xx 軸方向に aayy 軸方向に bb 平行移動したいときには,

    xxxax-a に変えて,yyyby-b に変えればよい。

    グラフの平行移動の公式について,具体例,公式の証明などを詳しく解説します。

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    関数のグラフの拡大・縮小の証明と例

    関数のグラフの拡大の公式:

    y=f(x)y=f(x) のグラフを原点中心に xx 軸方向に AA 倍,yy 軸方向に BB 倍させたグラフは yB=f(xA)\dfrac{y}{B}=f(\dfrac{x}{A}) となる。

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    中間値の定理の応用と多変数関数への拡張

    中間値の定理

    axba\leq x\leq b で連続な関数 f(x)f(x) を考える。 f(a)f(a)f(b)f(b) の間にある任意の実数 kk に対して, f(c)=kf(c)=k となる c(acb)c\:(a\leq c\leq b) が存在する。

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    ラグランジュの未定乗数法と例題

    等式制約付きの関数最大化,最小化問題に対する ラグランジュの未定乗数法という手法の基礎的なことと簡単な例題を解説します。一部厳密ではありませんが,例題を通じて大雑把な理解を!

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    一次分数関数のグラフと漸近線

    一次分数関数:y=ax+bcx+dy=\dfrac{ax+b}{cx+d} は反比例のグラフ y=Cxy=\dfrac{C}{x} を平行移動したものである。

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    上に凸,下に凸な関数と二階微分

    定理: f(x)f(x) が区間内で二階微分可能なとき,

    下に凸     \iff 二階微分 f(x)0f''(x)\geq 0

    上に凸     \iff 二階微分 f(x)0f''(x)\leq 0

    上に凸,下に凸な関数の性質と入試問題への応用例として京大の問題を解説します。

    → 上に凸,下に凸な関数と二階微分

    領域における最大・最小問題(線形計画法)

    一次不等式で表される領域内で一次関数の値を最大化(または最小化)する問題を線形計画法(Linear Programming, LP)と言う。

    領域内で関数の最大値,最小値を求める問題は入試でも頻出ですが,工学的な応用上も重要な問題です。

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    合成積(畳み込み)の意味と応用3つ

    合成積(畳み込み)は「二つの関数」から「一つの関数」を作る演算で,いろいろなところに登場する。

    合成積の定義,意味,応用例を解説します。

    → 合成積(畳み込み)の意味と応用3つ

    テント写像とその性質〜東大入試の背景〜

    テント写像:

    aa をパラメータとして,

    f(x)=amin(x,1x)f(x)=a\:\mathrm{min}(x,1-x)

    で表される関数(写像)をテント写像と言う。

    東大入試(後期)のテーマにもなった a=2a=2 の場合のテント写像について考察します。

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    巨大数:アッカーマン関数とは

    アッカーマン関数 A(m,n)A(m,n) とは,非負整数 m,nm,n を入力とする二変数関数であり,m4m\geq 4 のときに猛烈に大きい値を取る。

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    四次関数のグラフの概形と例題2問

    四次関数のグラフの特徴,書き方について解説します。四次関数は,教科書では数学2の発展事項として扱われています。

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    陰関数と陽関数の意味と違いについて

    陽関数と陰関数の定義:

    陽関数y=f(x)y=f(x) といういつもの形で表した関数

    陰関数F(x,y)=0F(x,y)=0 という形で表現した関係

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    四次関数の二重接線を素早く求める方法

    多くの四次関数には二重接線が存在する。 二重接線は平方完成を用いて簡単に求めることができる。

    二重接線とは,とある曲線に相異なる2つの点で接するような直線のことです。複接線と呼ばれることもあります。

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    包絡線の求め方と例題

    曲線群 f(x,y,t)=0f(x,y,t)=0 の包絡線の方程式は f(x,y,t)=0f(x,y,t)=0tf(x,y,t)=0\dfrac{\partial}{\partial t}f(x,y,t)=0 から tt を消去することで得られる。

    包絡線(envelope)の考え方は高校数学でも役に立ちます!

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    ルジャンドル変換の意味と具体例

    関数 f(x)f(x) に対して g(p)=maxx{pxf(x)}g(p)=\displaystyle\max_{x}\{px-f(x)\} で定義される関数 g(p)g(p)f(x)f(x) のルジャンドル変換と言う。

    ルジャンドル変換について具体例,幾何学的な意味などを解説します。

    → ルジャンドル変換の意味と具体例

    二次関数の軸と頂点の求め方など

    二次関数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c において,

    軸の方程式は x=b2ax=-\dfrac{b}{2a}

    頂点の座標は (b2a,b2+4ac4a)\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)

    非常に基本的な公式です。この公式の導出,例題,および軸の方程式のいくつかの解釈(覚え方)を解説します。

    → 二次関数の軸と頂点の求め方など

    ファクシミリの原理と通過領域の例題2問

    ファクシミリの原理:

    x=kx=k と固定して yy のとりうる値の範囲を求める」という操作を全ての kk について行うことで,領域を求めることができる。

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    変曲点の意味といろんな例

    変曲点の意味について解説し,いろいろな具体例(三次関数,四次関数,正規分布の確率密度関数)を通じて理解を深めます。

    → 変曲点の意味といろんな例

    argmax,argminの意味と例

    maxf(x)\max f(x)f(x)f(x) の最大値

    arg maxf(x)\mathop{arg~max} f(x)f(x)f(x) を最大にする xx の集合

    minf(x)\min f(x)f(x)f(x) の最小値

    arg minf(x)\mathop{arg~min} f(x)f(x)f(x) を最小にする xx の集合

    maxとargmax,minとargminを混同する人が多いので違いをきちんと理解しておきましょう。

    →argmax argminの意味と例

    無理関数とそのグラフの書き方

    無理関数 y=±ax+b+cy=\pm\sqrt{ax+b}+c のグラフは (ba,c)(-\dfrac{b}{a},c) から(定義域,値域を見て)適切な向きに,最初は一瞬鉛直な方向に進んで徐々に変化がなだらかになるように書けばよい。

    無理関数のグラフを素早く書く方法について解説します。慣れれば10秒くらいでグラフが書けます。

    → 無理関数とそのグラフの書き方

    微分を用いた接線の方程式の公式

    微分可能な関数 y=f(x)y=f(x) 上の点 A(a,f(a))A(a,f(a)) における接線の方程式は, yf(a)=f(a)(xa)y-f(a)=f'(a)(x-a)

    接線の方程式を求める問題2問とそれぞれに対する2通りの解法を解説します。

    → 微分を用いた接線の方程式の公式

    双曲線関数の加法定理とその証明

    1: sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y

    2: sinh(xy)=sinhxcoshycoshxsinhy\sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y

    3: cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y

    4: cosh(xy)=coshxcoshysinhxsinhy\cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y

    5: tanh(x+y)=tanhx+tanhy1+tanhxtanhy\tanh (x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}

    6: tanh(xy)=tanhxtanhy1tanhxtanhy\tanh (x-y)=\dfrac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}

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    ソフトマックス関数

    nn 次元実数ベクトル x=(x1,,xn)x=(x_1,\cdots,x_n) を受け取って nn 次元実数ベクトル y=(y1,yn)y=(y_1\cdots,y_n)

    (ただし, yi=exiex1+ex2++exny_i=\dfrac{e^{x_i}}{e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots +e^{x_n}}

    を返す関数をソフトマックス関数と言う。

    ニューラルネットワークなどに応用がある重要な関数「ソフトマックス関数」についてです。

    → ソフトマックス関数

    sinhx, coshx, tanhxの逆関数

    逆双曲線関数:

    y=sinhxy=\sinh x の逆関数は, y=log(x+x2+1)y=\log(x+\sqrt{x^2+1})

    y=coshx(x0)y=\cosh x\:(x\geq 0) の逆関数は, y=log(x+x21)y=\log(x+\sqrt{x^2-1}) (1x)(1\leq x)

    y=tanhxy=\tanh x の逆関数は, y=12log1+x1xy=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x} (1<x<1)(-1< x<1)

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    ランプ関数(正規化線形関数)

    f(x)={xx00x<0f(x)=\begin{cases}x&x\geq 0\\0&x< 0\end{cases}

    で表される関数をランプ関数と言う。

    ランプ関数は,正規化線形関数,Rectified Linear Function などとも呼ばれます(名前は仰々しいですが,非常に単純な関数です)。

    → ランプ関数(正規化線形関数)

    対数螺旋の長さと面積

    二次元極座標平面上で

    r=aebθr=ae^{b\theta}

    と表される曲線を対数螺旋(または等角螺旋,ベルヌーイの螺旋)と言う。

    対数螺旋を題材に,極座標において面積,曲線の長さを求める方法を復習します。

    → 対数螺旋の長さと面積

    リサージュ曲線の定義とそれに関連する話

    媒介変数 θ\theta を用いて, {x=Asin(aθ+δ)y=Bsin(bθ) \begin{cases} x = A\sin (a\theta + \delta)\\ y = B\sin (b\theta) \end{cases} と表される曲線をリサージュ曲線という。

    リサージュ曲線の定義について述べた後,それに関連する話題を紹介します。

    → リサージュ曲線の定義とそれに関連する話