いろんな関数
三次関数の対称性と4等分の法則
三次関数のグラフに関して以下の性質が成り立つ
対称性1:(変曲点に関して)点対称である
対称性2:図において, は等間隔に並んでいる(4等分の法則)
グラフの平行移動(具体例と公式の証明)
グラフの平行移動の公式:
関数のグラフを 軸方向に , 軸方向に 平行移動したいときには,
を に変えて, を に変えればよい。
グラフの平行移動の公式について,具体例,公式の証明などを詳しく解説します。
1/3公式と1/12公式の意味と証明【二次関数・三次関数と面積】
1/6公式は面積を求める公式として有名ですが,その亜種として 1/3公式や1/12公式というものも存在します。
ラグランジュの未定乗数法と例題
等式制約付きの関数最大化,最小化問題に対する ラグランジュの未定乗数法という手法の基礎的なことと簡単な例題を解説します。一部厳密ではありませんが,例題を通じて大雑把な理解を!
上に凸,下に凸な関数と二階微分
定理: が区間内で二階微分可能なとき,
下に凸 二階微分
上に凸 二階微分
上に凸,下に凸な関数の性質と入試問題への応用例として京大の問題を解説します。
領域における最大・最小問題(線形計画法)
一次不等式で表される領域内で一次関数の値を最大化(または最小化)する問題を線形計画法(Linear Programming, LP)と言う。
領域内で関数の最大値,最小値を求める問題は入試でも頻出ですが,工学的な応用上も重要な問題です。
合成積(畳み込み)の意味と応用3つ
合成積(畳み込み)は「二つの関数」から「一つの関数」を作る演算で,いろいろなところに登場する。
合成積の定義,意味,応用例を解説します。
テント写像とその性質〜東大入試の背景〜
テント写像:
をパラメータとして,
で表される関数(写像)をテント写像と言う。
東大入試(後期)のテーマにもなった の場合のテント写像について考察します。
四次関数の二重接線を素早く求める方法
多くの四次関数には二重接線が存在する。 二重接線は平方完成を用いて簡単に求めることができる。
二重接線とは,とある曲線に相異なる2つの点で接するような直線のことです。複接線と呼ばれることもあります。
ルジャンドル変換の意味と具体例
関数 に対して で定義される関数 を のルジャンドル変換と言う。
ルジャンドル変換について具体例,幾何学的な意味などを解説します。
二次関数の軸と頂点の求め方など
二次関数 において,
軸の方程式は
頂点の座標は
非常に基本的な公式です。この公式の導出,例題,および軸の方程式のいくつかの解釈(覚え方)を解説します。
ファクシミリの原理と通過領域の例題2問
「 と固定して のとりうる値の範囲を求める」という操作を全ての について行うことで,領域を求めることができる。
argmax,argminの意味と例
: の最大値
: を最大にする の集合
: の最小値
: を最小にする の集合
maxとargmax,minとargminを混同する人が多いので違いをきちんと理解しておきましょう。
無理関数とそのグラフの書き方
無理関数 のグラフは から(定義域,値域を見て)適切な向きに,最初は一瞬鉛直な方向に進んで徐々に変化がなだらかになるように書けばよい。
無理関数のグラフを素早く書く方法について解説します。慣れれば10秒くらいでグラフが書けます。
ソフトマックス関数
次元実数ベクトル を受け取って 次元実数ベクトル
(ただし, )
を返す関数をソフトマックス関数と言う。
ニューラルネットワークなどに応用がある重要な関数「ソフトマックス関数」についてです。
ランプ関数(正規化線形関数)
で表される関数をランプ関数と言う。
ランプ関数は,正規化線形関数,Rectified Linear Function などとも呼ばれます(名前は仰々しいですが,非常に単純な関数です)。
対数螺旋の長さと面積
二次元極座標平面上で
と表される曲線を対数螺旋(または等角螺旋,ベルヌーイの螺旋)と言う。
対数螺旋を題材に,極座標において面積,曲線の長さを求める方法を復習します。
リサージュ曲線の定義とそれに関連する話
媒介変数 を用いて, と表される曲線をリサージュ曲線という。
リサージュ曲線の定義について述べた後,それに関連する話題を紹介します。
ハイポサイクロイド(特にデルトイド)の式と面積
半径 の定円の内側を半径 の円が転がる状況を考えます。
図のように,赤い円が反時計回りに公転(時計回りに自転)します。
このとき,転がる円周上の1点 が描く軌跡(青い曲線)をハイポサイクロイドまたは内サイクロイドと言います。
領域を図示するテクニック【絶対値つき不等式】
「絶対値を含む不等式」で表された領域の図示について解説します。
有名問題2問を使って,基本的な考え方と3つのテクニックを紹介します。
合成関数について理解しておくべき性質まとめ
2つの関数 に対して, のことを, と の合成関数と言い, または と書く。
合成関数の意味と,関連する性質を整理しました。
領域を図示するテクニック【絶対値つき不等式】
「絶対値を含む不等式」で表された領域の図示について解説します。
有名問題2問を使って,基本的な考え方と3つのテクニックを紹介します。