いろんな関数

公式1：放物線 $y=ax^2+bx+c$ 上の二点 $A,B$ における接線の交点を $P$ とおくとき，$P$ の $x$ 座標は $A,B$ の $x$ 座標の平均となる

公式2：図において $S:T=2:1$ である

三次関数のグラフに関して以下の性質が成り立つ

対称性1：（変曲点に関して）点対称である

対称性2：図において，$A,B,C,D,E$ は等間隔に並んでいる（4等分の法則）

二次関数の決定とは，与えられた条件を満たす二次関数を決定する（求める）問題のことです。

シンプソンの公式：

$f(x)$ が三次以下の関数のとき，

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx=\dfrac{(b-a)}{6}\{f(a)+4f(\dfrac{a+b}{2})+f(b)\}$

$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ で表される曲線をアステロイド曲線（星芒形）と呼ぶ。

グラフの平行移動の公式：

関数のグラフを $x$ 軸方向に $a$ ，$y$ 軸方向に $b$ 平行移動したいときには，

$x$ を $x-a$ に変えて，$y$ を $y-b$ に変えればよい。

関数のグラフの拡大の公式：

$y=f(x)$ のグラフを原点中心に $x$ 軸方向に $A$ 倍，$y$ 軸方向に $B$ 倍させたグラフは $\dfrac{y}{B}=f(\dfrac{x}{A})$ となる。

一次分数関数：$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ は反比例のグラフ $y=\dfrac{C}{x}$ を平行移動したものである。

定理： $f(x)$ が区間内で二階微分可能なとき，

下に凸 $\iff$ 二階微分 $f''(x)\geq 0$

上に凸 $\iff$ 二階微分 $f''(x)\leq 0$

一次不等式で表される領域内で一次関数の値を最大化（または最小化）する問題を線形計画法（Linear Programming, LP）と言う。

合成積（畳み込み）は「二つの関数」から「一つの関数」を作る演算で，いろいろなところに登場する。

$f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-ax}}\: (a > 0)$ はシグモイド関数と呼ばれる重要な関数である。

テント写像：

$a$ をパラメータとして，

$f(x)=a\:\mathrm{min}(x,1-x)$

で表される関数（写像）をテント写像と言う。

定点から三次関数のグラフに接線が何本引けるかを問う問題は頻出。図で覚えておくとよい。変曲点における接線が重要。

アッカーマン関数 $A(m,n)$ とは，非負整数 $m,n$ を入力とする二変数関数であり，$m\geq 4$ のときに猛烈に大きい値を取る。

陽関数と陰関数の定義：

陽関数： $y=f(x)$ といういつもの形で表した関数

陰関数： $F(x,y)=0$ という形で表現した関係

多くの四次関数には二重接線が存在する。 二重接線は平方完成を用いて簡単に求めることができる。

曲線群 $f(x,y,t)=0$ の包絡線の方程式は $f(x,y,t)=0$ と $\dfrac{\partial}{\partial t}f(x,y,t)=0$ から $t$ を消去することで得られる。

二次関数 $y=ax^2+bx+c$ において，

軸の方程式は $x=-\dfrac{b}{2a}$

頂点の座標は $\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)$

$\max f(x)$ ： $f(x)$ の最大値

$\mathop{arg~max} f(x)$：$f(x)$ を最大にする $x$ の集合

$\min f(x)$ ： $f(x)$ の最小値

$\mathop{arg~min} f(x)$：$f(x)$ を最小にする $x$ の集合

無理関数 $y=\pm\sqrt{ax+b}+c$ のグラフは $(-\dfrac{b}{a},c)$ から（定義域，値域を見て）適切な向きに，最初は一瞬鉛直な方向に進んで徐々に変化がなだらかになるように書けばよい。

微分可能な関数 $y=f(x)$ 上の点 $A(a,f(a))$ における接線の方程式は， $y-f(a)=f'(a)(x-a)$

1: $\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$

2: $\sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y$

3: $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$

4: $\cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y$

5: $\tanh (x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$

6: $\tanh (x-y)=\dfrac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}$

$n$ 次元実数ベクトル $x=(x_1,\cdots,x_n)$ を受け取って $n$ 次元実数ベクトル $y=(y_1\cdots,y_n)$

（ただし， $y_i=\dfrac{e^{x_i}}{e^{x_1}+e^{x_2}+\cdots +e^{x_n}}$）

を返す関数をソフトマックス関数と言う。

逆双曲線関数：

$y=\sinh x$ の逆関数は， $y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$

$y=\cosh x\:(x\geq 0)$ の逆関数は， $y=\log(x+\sqrt{x^2-1})$ $(1\leq x)$

$y=\tanh x$ の逆関数は， $y=\dfrac{1}{2}\log\dfrac{1+x}{1-x}$ $(-1< x < 1)$

$f(x)=\begin{cases}x&x\geq 0\\0&x< 0\end{cases}$

で表される関数をランプ関数と言う。

二次元極座標平面上で

$r=ae^{b\theta}$

と表される曲線を対数螺旋（または等角螺旋，ベルヌーイの螺旋）と言う。

平方完成→グラフを描く→最大値，最小値を求める

or / and

微分する→最大値，最小値を求める

$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$

$(-1 < x < 1)$

媒介変数 $\theta$ を用いて， $$\begin{cases} x = A\sin (a\theta + \delta)\\ y = B\sin (b\theta) \end{cases}$$ と表される曲線をリサージュ曲線という。