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xlogxの極限,グラフ,積分など

更新日時 2021/03/07

大学入試で頻出の関数 y=xlogxy=x\log x について,重要事項を整理しました。

目次
  • xlogxの極限

  • xlogxの微分

  • y=xlogxのグラフ

  • xlogxの不定積分

xlogxの極限

limx+0xlogx=0\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x=0

0×0\times -\infty の不定形です。僕は「対数関数よりも多項式のほうが影響力が強い」と覚えています。この公式の二通りの証明を解説します。

証明1

x=1yx=\dfrac{1}{y} とおくと,

limx+0xlogx=limy+1ylog1y=limy+logyy=0\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x\\ =\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\dfrac{1}{y}\log \dfrac{1}{y}\\ =\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\dfrac{-\log y}{y}=0

ただし,最後に「対数関数より多項式のほうが早く発散する」ことを用いました。→指数関数の極限と爆発性 ロピタルの定理を認めればこんな証明も。

証明2

limx+0xlogx=limx+0logx1x=limx+01x1x2=limx+0(x)=0\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x\\ =\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\log x}{\frac{1}{x}}\\ =\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\\ =\displaystyle\lim_{x\to +0}(-x)\\ =0

xlogxの微分

(xlogx)=logx+1(x\log x)'=\log x+1

覚える必要はありません。積の微分公式を使うだけです。

証明

(xlogx)=x1x+1logx=1+logx(x\log x)'=x\cdot\dfrac{1}{x}+1\cdot \log x=1+\log x

y=xlogxのグラフ

y=xlogxy=x\log x のグラフの概形は覚えておきましょう。

y=xlogxのグラフ

(グラフの書き方)

f(x)=xlogxf(x)=x\log x の微分は 1+logx1+\log x なので,

0<x<1e0 < x < \dfrac{1}{e} で減少,1e<x\dfrac{1}{e} < x で増加。

これと limx+0f(x)=0\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)=0f(1e)=1ef(\dfrac{1}{e})=-\dfrac{1}{e} に注意するとグラフは図のようになる。

xlogxの不定積分

xlogxdx=x22logxx24+C\displaystyle\int x\log xdx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C

覚える必要はありません。部分積分を使うだけです。

(導出)

xlogxdx=x22logxx221xdx=x22logxx24+C\displaystyle\int x\log xdx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}dx\\ =\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C

y=xlogxのグラフの形,なんか好きです。

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