xlogxの極限，グラフ，積分など

更新 2021/03/06

大学入試で頻出の関数 $y=x\log x$ について，重要事項を整理しました。

xlogxの極限

$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x=0$

$0\times -\infty$ の不定形です。私は「対数関数よりも多項式のほうが影響力が強い」と覚えています。この公式の二通りの証明を解説します。

証明1

$x=\dfrac{1}{y}$ とおくと，

$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x\\ =\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\dfrac{1}{y}\log \dfrac{1}{y}\\ =\displaystyle\lim_{y\to +\infty}\dfrac{-\log y}{y}=0$

ただし，最後に「対数関数より多項式のほうが早く発散する」ことを用いました。→指数関数の極限と爆発性ロピタルの定理を認めればこんな証明も。

証明2

$\displaystyle\lim_{x\to +0}x\log x\\ =\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\log x}{\frac{1}{x}}\\ =\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}\\ =\displaystyle\lim_{x\to +0}(-x)\\ =0$

xlogxの微分

$(x\log x)'=\log x+1$

覚える必要はありません。積の微分公式を使うだけです。

証明

$(x\log x)'=x\cdot\dfrac{1}{x}+1\cdot \log x=1+\log x$

y=xlogxのグラフ

$y=x\log x$ のグラフの概形は覚えておきましょう。

y=xlogxのグラフ

（グラフの書き方）

$f(x)=x\log x$ の微分は $1+\log x$ なので，

$0 < x < \dfrac{1}{e}$ で減少， $\dfrac{1}{e} < x$ で増加。

これと $\displaystyle\lim_{x\to +0}f(x)=0$ ， $f(\dfrac{1}{e})=-\dfrac{1}{e}$ に注意するとグラフは図のようになる。

xlogxの不定積分

$\displaystyle\int x\log xdx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C$

覚える必要はありません。部分積分を使うだけです。

（導出）

$\displaystyle\int x\log xdx=\dfrac{x^2}{2}\log x-\int \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}dx\\ =\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C$

y=xlogxのグラフの形，なんか好きです。

この記事の監修者

マスオ

東京大学大学院情報理工学系研究科修了／2014年にWebサイト『高校数学の美しい物語』を立ち上げ／著書累計 50,000部突破／「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。 →著者情報・書籍一覧を見る

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