関数のグラフの拡大・縮小の証明と例

「グラフを $x$ 軸方向に $A$ 倍」とは，グラフ上の各点 $(x,y)$ を $(Ax,y)$ にうつすような変換です。

ちなみに，拡大の倍率 $A$ について，

• $A>1$ のとき拡大
• $0 <A <1$ のとき縮小
• $A=-1$ のとき $y$ 軸に関する対称移動

を表します。$y$ 軸方向への拡大・縮小も同様です。

では，拡大したグラフを表す式が

$\dfrac{y}{B}=f\left(\dfrac{x}{A}\right)$

になることを証明します。グラフの変換に関する以下の定石に従います。（→グラフの平行移動（具体例と公式の証明））

この3段階の定石は応用範囲が広く非常に重要です。

グラフの拡大・縮小と平行移動を組み合わせることで，かなり多くのグラフを簡単に描くことができます！（平行移動に関しては，グラフの平行移動の公式の証明と例を参照してください。）

グラフが平行移動，拡大・縮小によって移り変われるときにそれらを仲間(=回転を許容しない相似)」と呼ぶことにします。

• 一次関数は全て $y=x$ の仲間である。
  $y=x$ を $y$ 軸方向に $a$ 倍： $\dfrac{y}{a}=x$
  さらに，$y$ 軸方向に $b$ 平行移動： $y=ax+b$
  つまり，一次関数の形は本質的に1つです。

• 二次関数は全て $y=x^2$ の仲間である。
  $y=x^2$ を $y$ 軸方向に $a$ 倍： $\dfrac{y}{a}=x^2$
  さらに $x$ 軸方向に $p$， $y$ 軸方向に $q$ 平行移動： $y=a(x-p)^2+q$
  これで全ての二次関数を表せます。つまり，二次関数の形は本質的に1つです。より詳しくは，→全ての放物線が相似であることの証明

• 三次関数 $y=x^3$ と $y=x^3-x$ は仲間ではない。
  どう頑張っても拡大と平行移動で移せません。つまり，三次関数の形は本質的に複数あります。（単調なものとでこぼこなもの）

• 円は全て仲間
  $x^2+y^2=1$ を $r$ 倍に拡大： $\left(\dfrac{x}{r}\right)^2+\left(\dfrac{y}{r}\right)^2=1$
  平行移動： $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
  これで全ての円を表せます。
  実は，$x$ 軸方向と $y$ 軸方向の拡大率を別々に $r_1,r_2$ と指定してやれば楕円も「仲間」であることが分かります。
  $\dfrac{(x-a)^2}{r_1^2}+\dfrac{(y-b)^2}{r_2^2}=1$

• 一次の分数関数は全て仲間
  $y=\dfrac{1}{x}$ と $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ は仲間です（練習問題）。
  つまり，$y=\dfrac{1}{x}$ をうまく拡大，平行移動することでどんな（一次の）分数関数のグラフも描くことができます！