複素数，虚数，純虚数，実数

更新日時 2021/03/07

複素数，虚数，純虚数の意味および関連する話題について。

複素数，虚数，純虚数
複素共役と実数，純虚数
複素数平面と実数，純虚数

複素数，虚数，純虚数意味の違いをきちんと理解しましょう。
複素数a+bia+bia+bi
（a,ba,ba,b
 は実数）という数全体のことを複素数と呼びます。
虚数a+bia+bia+bi
（a,ba,ba,b
 は実数，b≠0b\neq 0b=0）という数全体のことを虚数と呼びます。
虚部が
000
 でない複素数のことです。複素数であって実数ではないものとも言えます。
複素数平面においては，横軸上の点以外の点を表します。
純虚数複素数のうち，bibibi
（bbb
 は実数，b≠0b\neq 0b=0）という数全体のことを純虚数と呼びます。
実部が
000
 である虚数のことであり，複素数平面においては縦軸上の点（原点は除く）を表します。
注：純虚数に
000
 を含める場合もあります。ご注意下さい。
複素数平面上での複素数・虚数・純虚数複素数平面上では，複素数・虚数・純虚数・実数は下図のように表せます。
複素数：平面全体
虚数：赤い横線以外全部
純虚数：青い縦線
実数：赤い横線

複素共役と実数，純虚数

以下 $a, b$ は実数とします。複素数 $z=a+bi$ に対してその共役複素数を $\overline{z}=a-bi$ で定めます。→共役複素数の覚えておくべき性質

実数条件・純虚数条件

複素数 $z$ について，

$z$ が実数 $\iff z=\overline{z}$
$z$ が純虚数 $\iff z=-\overline{z}$ かつ $z\neq 0$

特に1つめはよく使います。

証明

$z=a+bi$ が実数
$\iff b=0$
$\iff a+bi=a-bi$
$\iff z=\overline{z}$

$z=a+bi$ が純虚数
$\iff a=0$ かつ $b\neq 0$
$\iff a+bi=-a+bi$ かつ $b\neq 0$
$\iff z=-\overline{z}$ かつ $b\neq 0$

複素数平面と実数，純虚数平行条件・垂直条件
複素数平面上の相異なる4点
A(α)A(\alpha)A(α)，B(β)B(\beta)B(β)，C(γ)C(\gamma)C(γ)，D(δ)D(\delta)D(δ)
 について，
ABABAB
と
CDCDCD
が平行

  ⟺  α−βγ−δ\iff \dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\delta}⟺γ−δα−β​
が実数
ABABAB
と
CDCDCD
が垂直

  ⟺  α−βγ−δ\iff \dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\delta}⟺γ−δα−β​
が純虚数
複素数平面の基本的な公式集でも紹介した公式です。
平行
  ⟺  \iff⟺
 偏角の差が
0∘0^{\circ}0∘
（または
180∘180^{\circ}180∘
）
垂直
  ⟺  \iff⟺
 偏角の差が
90∘90^{\circ}90∘
（または
270∘270^{\circ}270∘
）
であることから分かります。
複素数の図形的な性質については，
1のn乗根の性質と複素数平面
複素数平面における直線の方程式
などでも解説しています。興味のある方はぜひご覧ください。
極形式複素数には，a+bia+bia+bi という表し方の他にも，reiθ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)re^{i \theta}= r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})reiθ=r(cosθ+isinθ) という表し方もあります。この表し方を極形式と呼びます。詳しくは 複素数平面における回転と極形式 をご覧ください。
虚数という言葉よりも複素数という言葉を使う機会の方が圧倒的に多い気がします。
Tag:数学２の教科書に載っている公式の解説一覧

この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！