複素数,虚数,純虚数,実数

更新日時 2021/03/07

複素数,虚数,純虚数の意味および関連する話題について。

目次
  • 複素数,虚数,純虚数

  • 複素共役と実数,純虚数

  • 複素数平面と実数,純虚数

複素数,虚数,純虚数

意味の違いをきちんと理解しましょう。

複素数,虚数,純虚数の違い

複素数

a+bia+bia,ba,b は実数)という数全体のことを複素数と呼びます。

虚数

a+bia+bia,ba,b は実数,b0b\neq 0)という数全体のことを虚数と呼びます。

虚部が 00 でない複素数のことです。複素数であって実数ではないものとも言えます。 複素数平面においては,横軸上の点以外の点を表します。

純虚数

複素数のうち,bibibb は実数,b0b\neq 0)という数全体のことを純虚数と呼びます。

実部が 00 である虚数のことであり,複素数平面においては縦軸上の点(原点は除く)を表します。

注:純虚数に 00 を含める場合もあります。ご注意下さい。

複素数平面上での複素数・虚数・純虚数

複素数平面上では,複素数・虚数・純虚数・実数は下図のように表せます。

  • 複素数:平面全体
  • 虚数:赤い横線以外全部
  • 純虚数:青い縦線
  • 実数:赤い横線

複素数の分布

複素共役と実数,純虚数

以下 a,ba, b は実数とします。複素数 z=a+biz=a+bi に対してその共役複素数を z=abi\overline{z}=a-bi で定めます。→共役複素数の覚えておくべき性質

実数条件・純虚数条件

複素数 zz について,

  • zz が実数     z=z\iff z=\overline{z}

  • zz が純虚数     z=z\iff z=-\overline{z} かつ z0z\neq 0

特に1つめはよく使います。

証明

z=a+biz=a+bi が実数
    b=0\iff b=0
    a+bi=abi\iff a+bi=a-bi
    z=z\iff z=\overline{z}

z=a+biz=a+bi が純虚数
    a=0\iff a=0 かつ b0b\neq 0
    a+bi=a+bi\iff a+bi=-a+bi かつ b0b\neq 0
    z=z\iff z=-\overline{z} かつ b0b\neq 0

複素数平面と実数,純虚数

平行条件・垂直条件

複素数平面上の相異なる4点 A(α)A(\alpha)B(β)B(\beta)C(γ)C(\gamma)D(δ)D(\delta) について,

  • ABABCDCD が平行
        αβγδ\iff \dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\delta} が実数

  • ABABCDCD が垂直
        αβγδ\iff \dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\delta} が純虚数

複素数平面の基本的な公式集でも紹介した公式です。

平行     \iff 偏角の差が 00^{\circ} (または 180180^{\circ}

垂直     \iff 偏角の差が 9090^{\circ} (または 270270^{\circ}

であることから分かります。

複素数の図形的な性質については,

などでも解説しています。興味のある方はぜひご覧ください。

極形式

複素数には,a+bia+bi という表し方の他にも,reiθ=r(cosθ+isinθ)re^{i \theta}= r(\cos{\theta} + i\sin{\theta}) という表し方もあります。この表し方を極形式と呼びます。詳しくは 複素数平面における回転と極形式 をご覧ください。

虚数という言葉よりも複素数という言葉を使う機会の方が圧倒的に多い気がします。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧