複素数平面における回転と極形式

複素数の極形式

例えば，$\sqrt{3}+i$ という複素数は，$2e^{\frac{\pi}{6}i}$ と表すことができます。$2e^{\frac{\pi}{6}i}$ という表記は少しわかりにくいので，もう少し詳しく説明すると，

• $e$ はネイピア数（自然対数の底）です。→自然対数の底
• $e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta$ という等式が成立します。→オイラーの公式
• つまり，$e^{\frac{\pi}{6}i}=\cos\dfrac{\pi}{6} +i\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i$ となります。
• 両辺を2倍すると，確かに $\sqrt{3}+i=2e^{\frac{\pi}{6}i}$ がわかります。

このように，複素数は $re^{i\theta}$（ただし，$r$ と $\theta$ は実数）という形で表すことができ，この形を極形式と呼びます。全く同じことですが，指数関数を使わずに $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ と表したものも極形式と呼びます。

$2e^{\frac{\pi}{6}i}$ の場合，$r=2$，$\theta=\dfrac{\pi}{6}$ です。

複素数を極形式で表す方法

$z=x+iy$ を極形式で表す手順です：

1. 直交座標に $(x,y)$ をプロットする。
2. 極座標 $(r,\theta)$ に変換する
3. 得られた $r$ と $\theta$ を使って，$r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$ としたものが極形式

例として，$\sqrt{3}+i$ を極形式で表してみましょう。

$r$ を複素数 $z$ の絶対値，$\theta$ を偏角と呼びます。 $\sqrt{3}+i$ の絶対値は $2$ ，偏角は $\dfrac{\pi}{6}$ です。

複素数平面について

極形式について理解を深めるために，複素数平面について述べます。

• 例えば，$2+3i$ という複素数には「原点から右に2，上に3行った点」が対応します。

• 複素数と平面上の点を一対一対応させています。複素数 $x+iy$ を1つ決めると，複素数平面上の点 $(x,y)$ が1つ決まります。逆もしかりです。

• ではなぜ複素数平面を考えるのか？直交座標でよいのでは？と思うかもしれません。実は，「極形式」と「複素数平面における回転」を理解すれば複素数平面の意義がわかります。

複素数平面における回転

極形式の知識をふまえて，複素数平面における回転について解説します。

もっと数学的にきちんと言うと，「偏角が $\theta_1$ である複素数」と「偏角が $\theta_2$ である複素数」の積は「偏角が $\theta_1+\theta_2$ である複素数」となる，です。

「回転」という一見やっかいな操作が，複素数のかけ算という簡単な計算で表現できるのでありがたいです。「回転をかけ算で扱える」というのが，複素数平面を使う最大のメリットと言えるでしょう。

この性質を証明してみましょう。

• 例えば $z_1$ を絶対値を保ったまま $\dfrac{\pi}{6}$ 回転させたいときには，$z_2=\dfrac{1}{2}(\sqrt{3}+i)$ とすればよいです（$z_2$ は絶対値が $1$ で偏角が $\dfrac{\pi}{6}$ です）。 複素数のかけ算を1回行うだけで。回転後の座標が計算できるというのが複素数平面の素晴らしさです。直交座標だと加法定理なり一次変換なりを使う必要があり，めんどうです。

• 上記の証明から分かるように「複素数の積」は「絶対値は積，偏角は和」になります。

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