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複素指数関数とオイラーの公式

更新日時 2021/03/07
複素数の指数関数

複素数 z=a+biz=a+bi に対して,指数関数 eze^z は以下の式で定義される: e(a+bi)=ea(cosb+isinb)e^{(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b)

ただし,a,ba,b は実数です。右辺は実数の指数関数 eae^a と,三角関数 cosb,sinb\cos b,\sin b からなります。

目次
  • 複素数の指数関数

  • オイラーの公式

  • 指数法則と加法定理

  • 他にもいろいろ嬉しいことがある

複素数の指数関数

高校数学では三角関数や指数関数を習いますが,その定義域は実数です。

実は,一般に複素数 zz の三角関数 sinz,cosz\sin z,\cos z や指数関数 eze^z を考えることもできます。

特に,この記事では複素数の指数関数 eze^z について考えます。冒頭で述べたように,ea+bie^{a+bi}e(a+bi)=ea(cosb+isinb)e^{(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b) という式で定義されます。なぜこのような式で定義されるかという理由を知るには,解析接続を理解する必要があります(詳しくはe^xのマクローリン展開,三角関数との関係をどうぞ)。

とりあえず 「このように定義したら都合が良いことがたくさんあるから」と覚えておきましょう。

オイラーの公式

e(a+bi)=ea(cosb+isinb)e^{(a+bi)}=e^a(\cos b+i\sin b) という式で a=0a=0 として,bbθ\theta と書き換えると, eiθ=cosθ+isinθe^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta となります。この式をオイラーの公式と呼びます。

さらに,オイラーの公式に θ=π\theta=\pi を代入すれば,有名なオイラーの等式(博士の愛した数式)を得ることができます: eπi=1e^{\pi i}=-1 一見何の関係もない e,π,ie,\pi,i という3つの数が1つのシンプルな等式に現れるのはとても美しいです。

指数法則と加法定理

指数関数 eze^z のことを exp(z)\exp(z) とも書きます。

複素指数関数に対しても指数法則

exp(z1+z2)=exp(z1)exp(z2)\exp(z_1+z_2)=\exp(z_1)\exp(z_2)

が成立することを証明しておきます。

証明

z1=x1+iy1,z2=x2+iy2z_1=x_1+iy_1, z_2=x_2+iy_2 とおくと,

左辺は

exp(z1+z2)=exp{(x1+x2)+i(y1+y2)}=exp(x1+x2){cos(y1+y2)+isin(y1+y2)}\exp(z_1+z_2)=\exp\{(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\}\\ =\exp(x_1+x_2)\{\cos(y_1+y_2)+i\sin(y_1+y_2)\}

右辺は

exp(z1)exp(z2)=(exp(x1)(cosy1+isiny1))(exp(x2)(cosy2+isiny2))=exp(x1+x2){cosy1cosy2siny1siny2+i(siny1cosy2+cosy1siny2)}\exp(z_1)\exp(z_2)\\=(\exp(x_1)(\cos y_1+i\sin y_1))(\exp(x_2)(\cos y_2+i\sin y_2))\\ =\exp(x_1+x_2)\{\cos y_1 \cos y_2-\sin y_1 \sin y_2\\+i(\sin y_1 \cos y_2+\cos y_1 \sin y_2)\}

よって三角関数の加法定理から,指数法則が成立することが分かる。

つまり,複素指数関数の指数法則と実三角関数の加法定理は本質的には同じことです。

美しい応用例として,三角関数を指数関数に変身させることで和を求めるというテクニックがあります。 →三角関数の和と等比数列の公式

他にもいろいろ嬉しいことがある

複素指数関数の演算は実数と同じように行うことができます。証明は定義式を用いて単純に計算するだけなのでぜひ一度やってみてください。

実数での微分, 積分

deztdt=zezt\dfrac{de^{zt}}{dt}=ze^{zt}

eztdt=eztz+C\displaystyle\int e^{zt}dt=\dfrac{e^{zt}}{z}+C

実数での微分や積分は上記のように簡単に計算できますが,複素数での微分,積分を理解するには複素解析を学ぶ必要があります。

なお,さらに発展的な話題として複素数の対数関数とiのi乗が実数であることもどうぞ!

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