ド・モアブルの定理の意味と証明
正の整数 と任意の実数 に対して,
ド・モアブルの定理(de Moivre’s theorem)について,意味や証明方法,応用を解説します。
ド・モアブルの定理の意味
極形式と練習問題
ド・モアブルの定理の証明
ド・モアブルの定理の応用
複素指数関数との関係
ド・モアブルの定理の意味
ド・モアブルの定理は,三角関数や虚数が入っていて一見難しく見えますが,単なる恒等式です。
ド・モアブルの定理で とすると,
となる。実際,左辺は で右辺は なので等式が成立する。
極形式と練習問題
に対して を計算せよ。
複素数を の形で表したものを極形式と言います。→複素数平面における回転と極形式
複素数の累乗は,極形式で表してからド・モアブルの定理を使うと計算できます。
を極形式で表すと,
よって,ド・モアブルの定理より,
ド・モアブルの定理の証明
ド・モアブルの定理:
を証明します。
に関する数学的帰納法で証明します。三角関数の加法定理を用います。
のときは両辺ともに となりOK。
が成立すると仮定すると,
(ただし,最後の変形で三角関数の加法定理を用いた)
となる。つまり,
のときにド・モアブルの定理が成立するなら
でも成立。
実は,ド・モアブルの定理は がマイナスの場合も成立します。
ここで, はプラスなのですでに証明したド・モアブルの定理より上式は
と等しい。分母分子に をかけて有理化すると,分母は になり分子は
となる。
ド・モアブルの定理の応用
ド・モアブルの定理を用いれば三角関数の 倍角の公式を素早く導くことができます!
ド・モアブルの定理で とすると,
である。左辺を展開すると,
となる。
- 実部を比較すると, の三倍角の公式を得る。
- 虚部を比較すると, の三倍角の公式を得る。
同様に, 乗を展開するだけで機械的に 倍角の公式を導くことができます。 →四倍角の公式の証明と考察
また,平方数の逆数和 が に収束することの証明にも登場します! →バーゼル問題の初等的な証明
複素指数関数との関係
実は,複素数 の指数関数は で定義されます。→オイラーの公式と複素指数関数
つまり、ド・モアブルの定理の左辺は になり,右辺は になります。つまり,ド・モアブルの定理は指数法則 の複素数バージョンとも言えます。
5倍角の公式の導出が京大で出題されたことがあります。
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