ドモアブルの定理の意味と証明
ド・モアブルの定理:
ド・モアブルの定理(de Moivre’s theorem)とは,上記の美しい複素数の恒等式のことです。このページでは,ド・モアブルの定理について,意味や証明方法,応用を解説します。
ド・モアブルの定理の意味
ド・モアブルの定理の証明
ド・モアブルの定理の応用
ド・モアブルの定理の意味
1.単なる「複素数の恒等式」にすぎない
ド・モアブルの定理は,三角関数や虚数が入っていて一見難しく見えますが,単なる恒等式です。
2.三角関数の加法定理と密接に関係している
後ほどの証明でみるように,三角関数の加法定理を用いてド・モアブルの定理を証明することができます。また,ド・モアブルの定理から,三角関数の 倍角の公式を導くことができます。
3.複素指数関数の指数法則を表している
ド・モアブルの定理の左辺は,複素指数関数 の 乗で,右辺は なので,指数法則 の複素数バージョンになっています。→複素指数関数とオイラーの公式
複素指数関数の定義は天下り的で,きちんと理解するには解析接続という考え方が必要になります。この3に関しては理解できなくて構いません。「ド・モアブルの定理には深い意味があるんだなあ」くらいに流してくれればOKです。
ド・モアブルの定理の証明
複素指数関数なんて知らなくても証明できます!
方針: に関する数学的帰納法で証明します。三角関数の加法定理を用います。
のときは自明。
と仮定すると,
(ただし,最後の変形で三角関数の加法定理を用いた)
となり, のときに成立するなら でも成立。
ド・モアブルの定理の応用
ド・モアブルの定理を用いれば三角関数の 倍角の公式を素早く導くことができます!(逆にこれ以外使い道がないような……)
同様に, 乗を展開するだけで機械的に 倍角の公式を導くことができます。 →四倍角の公式の証明と考察
5倍角の公式の導出が京大で出題されたことがあります。
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