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ド・モアブルの定理の意味と証明

更新日時 2021/03/07
ド・モアブルの定理

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

ド・モアブルの定理(de Moivre’s theorem)とは,上記の美しい複素数の恒等式のことです。このページでは,ド・モアブルの定理について,意味や証明方法,応用を解説します。

目次
  • ド・モアブルの定理の意味

  • ド・モアブルの定理の証明

  • ド・モアブルの定理の応用

ド・モアブルの定理の意味

1.単なる「複素数の恒等式」にすぎない

ド・モアブルの定理は,三角関数や虚数が入っていて一見難しく見えますが,単なる恒等式です。

2.三角関数の加法定理と密接に関係している

後ほどの証明でみるように,三角関数の加法定理を用いてド・モアブルの定理を証明できます。また,ド・モアブルの定理から,三角関数の nn 倍角の公式を導くことができます。

3.複素指数関数の指数法則を表している

ド・モアブルの定理の左辺は,複素指数関数 eiθe^{i\theta}nn 乗で,右辺は einθe^{in\theta} なので,指数法則 (ex)n=exn(e^{x})^n=e^{xn} の複素数バージョンになっています。→複素指数関数とオイラーの公式

複素指数関数の定義は天下り的で,きちんと理解するには解析接続という考え方が必要になります。この3に関しては理解できなくて構いません。「ド・モアブルの定理には深い意味があるんだなあ」くらいに流してくれればOKです。

ド・モアブルの定理の証明

複素指数関数なんて知らなくても証明できます!

方針: nn に関する数学的帰納法で証明します。三角関数の加法定理を用います。

証明

n=1n=1 のときは自明。

(cosθ+isinθ)k=coskθ+isinkθ(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}=\cos k\theta+i\sin k\theta と仮定すると,

(cosθ+isinθ)k+1=(cosθ+isinθ)k(cosθ+isinθ)=(coskθ+isinkθ)(cosθ+isinθ)=(coskθcosθsinkθsinθ)+i(sinkθcosθ+coskθsinθ)=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}\\ =(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =(\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta)\\ \:\:+i(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta)\\ =\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta

(ただし,最後の変形で三角関数の加法定理を用いた)

となり,n=kn=k のときに成立するなら n=k+1n=k+1 でも成立。

ド・モアブルの定理の応用

ド・モアブルの定理を用いれば三角関数の nn 倍角の公式を素早く導くことができます!

三倍角の公式

sin3θ=4sin3θ+3sinθcos3θ=4cos3θ3cosθ\sin3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\\ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

を証明する。

ド・モアブルの定理より,

(cosθ+isinθ)3=cos3θ+isin3θ(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta

なので,左辺を展開したときの

実部(=cos3θ3cosθsin2θ=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta )が cos\cos の三倍角の公式で

虚部(=3cos2θsinθsin3θ=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta )が sin\sin の三倍角の公式になっています。

同様に,nn 乗を展開するだけで機械的に nn 倍角の公式を導くことができます。 →四倍角の公式の証明と考察

また,平方数の逆数和 11+14+19+\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdotsπ26\dfrac{\pi^2}{6} に収束することの証明にも登場します! →バーゼル問題の初等的な証明

5倍角の公式の導出が京大で出題されたことがあります。

Tag:複素数の美しい性質と効果まとめ

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