ド・モアブルの定理の意味と証明

$\sqrt{3}+i$ を極形式で表すと，

$$\begin{aligned} z &= 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\\ &= 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right) \end{aligned}$$

よって，ド・モアブルの定理より，

$$\begin{aligned} z^6 &= 2^6\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^6\\ &=2^6(\cos\pi+i\sin\pi)\\ &=-64 \end{aligned}$$

$n=1$ のときは両辺ともに $\cos\theta+i\sin\theta$ となりOK。 $$(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}=\cos k\theta+i\sin k\theta$$ が成立すると仮定すると，

$$\begin{aligned} &(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}\\ &=(\cos\theta+i\sin\theta)^{k} (\cos\theta+i\sin\theta)\\ &= (\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\ &= (\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta)\\ &\quad +i(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta)\\ &=\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta \end{aligned}$$

（ただし，最後の変形で三角関数の加法定理を用いた）
となる。つまり，$n=k$ のときにド・モアブルの定理が成立するなら $n=k+1$ でも成立。

$\cos \theta + i \sin \theta$ と $\cos \phi + i \sin \phi$ の積を計算する。

$$\begin{aligned} &(\cos \theta + i \sin \theta)(\cos \phi + i \sin \phi)\\ &= (\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi)\\ &\qquad + i (\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi) \\ &= \cos (\theta + \phi) + i \sin (\theta + \phi) \end{aligned}$$

よって， $$\begin{aligned} &(\cos \theta + i \sin \theta)^n\\ &= \cos ( \underbrace{\theta + \theta + \cdots + \theta}_{n \text{個}} ) + i \sin (\underbrace{\theta + \theta + \cdots + \theta}_{n \text{個}})\\ &= \cos n\theta + i \sin n \theta \end{aligned}$$ である。

$n<0$ の場合を証明する。まず， $$(\cos\theta+i\sin\theta)^n =\dfrac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{-n}}$$ である。ここで，$-n$ はプラスなのですでに証明したド・モアブルの定理より上式は

$$\dfrac{1}{\cos(-n)\theta+i\sin(-n)\theta}$$

と等しい。分母分子に $\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta$ をかけて有理化すると，分母は $1$ になり分子は

$$\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta =\cos n\theta+i\sin n\theta$$

となる。

ド・モアブルの定理で $n=3$ とすると，

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$$

である。左辺を展開すると，

$$\begin{aligned} &\cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta\\ &=\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)\\ &\quad +3i(1-\sin^2\theta)\sin\theta-i\sin^3\theta\\ &=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ &\quad +i(-4\sin^3\theta+3\sin\theta) \end{aligned}$$

となる。

• 実部を比較すると，$\cos$ の三倍角の公式を得る。
• 虚部を比較すると，$\sin$ の三倍角の公式を得る。