ド・モアブルの定理の意味と証明

更新日時 2021/03/07
ド・モアブルの定理

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta

ド・モアブルの定理（de Moivre’s theorem）とは，上記の美しい複素数の恒等式のことです。このページでは，ド・モアブルの定理について，意味や証明方法，応用を解説します。

目次

  • ド・モアブルの定理の意味

  • ド・モアブルの定理の証明

  • ド・モアブルの定理の応用

ド・モアブルの定理の意味

1．単なる「複素数の恒等式」にすぎない

ド・モアブルの定理は，三角関数や虚数が入っていて一見難しく見えますが，単なる恒等式です。

2．三角関数の加法定理と密接に関係している

後ほどの証明でみるように，三角関数の加法定理を用いてド・モアブルの定理を証明できます。また，ド・モアブルの定理から，三角関数の nn 倍角の公式を導くことができます。

3．複素指数関数の指数法則を表している

ド・モアブルの定理の左辺は，複素指数関数 eiθe^{i\theta} の nn 乗で，右辺は einθe^{in\theta} なので，指数法則 (ex)n=exn(e^{x})^n=e^{xn} の複素数バージョンになっています。→複素指数関数とオイラーの公式

複素指数関数の定義は天下り的で，きちんと理解するには解析接続という考え方が必要になります。この3に関しては理解できなくて構いません。「ド・モアブルの定理には深い意味があるんだなあ」くらいに流してくれればOKです。

ド・モアブルの定理の証明

複素指数関数なんて知らなくても証明できます！

方針

nn に関する数学的帰納法で証明します。三角関数の加法定理を用います。

証明

n=1n=1 のときは自明。

(cos⁡θ+isin⁡θ)k=cos⁡kθ+isin⁡kθ(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}=\cos k\theta+i\sin k\theta と仮定すると，

(cos⁡θ+isin⁡θ)k+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)k(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡kθ+isin⁡kθ)(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ)  +i(sin⁡kθcos⁡θ+cos⁡kθsin⁡θ)=cos⁡(k+1)θ+isin⁡(k+1)θ(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}\\ =(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =(\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta)\\ \:\:+i(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta)\\ =\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta

（ただし，最後の変形で三角関数の加法定理を用いた）

となり，n=kn=k のときに成立するなら n=k+1n=k+1 でも成立。

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ド・モアブルの定理の応用

ド・モアブルの定理を用いれば三角関数の nn 倍角の公式を素早く導くことができます！

例

三倍角の公式

sin⁡3θ=−4sin⁡3θ+3sin⁡θcos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\sin3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\\ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta

を証明する。

ド・モアブルの定理より，

(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+isin⁡3θ(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta

なので，左辺を展開したときの

実部（=cos⁡3θ−3cos⁡θsin⁡2θ=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta ）が cos⁡\cos の三倍角の公式で

虚部（=3cos⁡2θsin⁡θ−sin⁡3θ=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta ）が sin⁡\sin の三倍角の公式になっています。

同様に，nn 乗を展開するだけで機械的に nn 倍角の公式を導くことができます。 →四倍角の公式の証明と考察

また，平方数の逆数和 11+14+19+⋯\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots が π26\dfrac{\pi^2}{6} に収束することの証明にも登場します！ →バーゼル問題の初等的な証明

5倍角の公式の導出が京大で出題されたことがあります。

Tag:複素数の美しい性質と効果まとめ

Tag:数学3の教科書に載っている公式の解説一覧

この記事の編集者
マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

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