ド・モアブルの定理の意味と証明

更新日時 2021/03/07

ド・モアブルの定理

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$

ド・モアブルの定理（de Moivre’s theorem）とは，上記の美しい複素数の恒等式のことです。このページでは，ド・モアブルの定理について，意味や証明方法，応用を解説します。

ド・モアブルの定理の意味
ド・モアブルの定理の証明
ド・モアブルの定理の応用

ド・モアブルの定理の意味1．単なる「複素数の恒等式」にすぎない
ド・モアブルの定理は，三角関数や虚数が入っていて一見難しく見えますが，単なる恒等式です。
2．三角関数の加法定理と密接に関係している
後ほどの証明でみるように，三角関数の加法定理を用いてド・モアブルの定理を証明できます。また，ド・モアブルの定理から，三角関数の
nnn
 倍角の公式を導くことができます。
3．複素指数関数の指数法則を表している
ド・モアブルの定理の左辺は，複素指数関数
eiθe^{i\theta}eiθ
 の
nnn
 乗で，右辺は
einθe^{in\theta}einθ
 なので，指数法則
(ex)n=exn(e^{x})^n=e^{xn}(ex)n=exn
 の複素数バージョンになっています。→複素指数関数とオイラーの公式
複素指数関数の定義は天下り的で，きちんと理解するには解析接続という考え方が必要になります。この3に関しては理解できなくて構いません。「ド・モアブルの定理には深い意味があるんだなあ」くらいに流してくれればOKです。

ド・モアブルの定理の証明

複素指数関数なんて知らなくても証明できます！

方針： $n$ に関する数学的帰納法で証明します。三角関数の加法定理を用います。

証明

$n=1$ のときは自明。

$(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}=\cos k\theta+i\sin k\theta$ と仮定すると，

$(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}\\ =(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =(\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta)\\ \:\:+i(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta)\\ =\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta$

（ただし，最後の変形で三角関数の加法定理を用いた）

となり， $n=k$ のときに成立するなら $n=k+1$ でも成立。

ド・モアブルの定理の応用

ド・モアブルの定理を用いれば三角関数の $n$ 倍角の公式を素早く導くことができます！

例

三倍角の公式

$\sin3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\\ \cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

を証明する。

ド・モアブルの定理より，

$(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$

なので，左辺を展開したときの

実部（ $=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta$ ）が $\cos$ の三倍角の公式で

虚部（ $=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta$ ）が $\sin$ の三倍角の公式になっています。

同様に， $n$ 乗を展開するだけで機械的に $n$ 倍角の公式を導くことができます。 →四倍角の公式の証明と考察

また，平方数の逆数和 $\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots$ が $\dfrac{\pi^2}{6}$ に収束することの証明にも登場します！ →バーゼル問題の初等的な証明

5倍角の公式の導出が京大で出題されたことがあります。

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