ド・モアブルの定理の意味と証明

$\sqrt{3}+i$ を極形式で表すと，

$z=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)\\ =2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)$

よって，ド・モアブルの定理より，

$z^6=2^6\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^6\\ =2^6(\cos\pi+i\sin\pi)\\ =-64$

$n=1$ のときは両辺ともに $\cos\theta+i\sin\theta$ となりOK。

$(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}=\cos k\theta+i\sin k\theta$

が成立すると仮定すると，

$(\cos\theta+i\sin\theta)^{k+1}\\ =(\cos\theta+i\sin\theta)^{k}(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =(\cos k\theta+i\sin k\theta)(\cos\theta+i\sin\theta)\\ =(\cos k\theta\cos\theta-\sin k\theta\sin\theta)\\ \:\:+i(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta)\\ =\cos(k+1)\theta+i\sin(k+1)\theta$

（ただし，最後の変形で三角関数の加法定理を用いた）
となる。つまり，$n=k$ のときにド・モアブルの定理が成立するなら $n=k+1$ でも成立。

$(\cos\theta+i\sin\theta)^n\\ =\dfrac{1}{(\cos\theta+i\sin\theta)^{-n}}$

ここで，$-n$ はプラスなのですでに証明したド・モアブルの定理より上式は

$\dfrac{1}{\cos(-n)\theta+i\sin(-n)\theta}$

と等しい。分母分子に $\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta$ をかけて有理化すると，分母は $1$ になり分子は

$\cos(-n)\theta-i\sin(-n)\theta\\ =\cos n\theta+i\sin n\theta$

となる。

ド・モアブルの定理で $n=3$ とすると，

$(\cos\theta+i\sin\theta)^3=\cos 3\theta+i\sin 3\theta$

である。左辺を展開すると，

$\cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta\\ =\cos^3\theta-3\cos\theta(1-\cos^2\theta)\\ \:+3i(1-\sin^2\theta)\sin\theta-i\sin^3\theta\\ =4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ \:+i(-4\sin^3\theta+3\sin\theta)$

となる。

• 実部を比較すると，$\cos$ の三倍角の公式を得る。
• 虚部を比較すると，$\sin$ の三倍角の公式を得る。