四倍角の公式の証明と考察

$$\begin{aligned}&\sin 4x\\ &=\sin(2x+2x)\\ &=2\sin 2x\cos 2x\\ &=4\sin x\cos x(1-2\sin^2 x)\\ &=\cos x(4\sin x-8\sin^3 x)\end{aligned}$$ $$\begin{aligned}&\cos 4x\\ &=\cos (2x+2x)\\ &=2\cos^2 2{x}-1\\ &=2(2\cos^2 x-1)^2-1\\ &=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1\end{aligned}$$

オイラーの公式より， $$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$ $$e^{4ix}=\cos 4x+i\sin 4x$$ また，複素指数関数の指数法則より，$e^{4ix}=(e^{ix})^4$ なので， $$\cos 4x+i\sin 4x=(\cos x+i\sin x)^4$$ 右辺を頑張って展開すると， $$\begin{aligned}&(\cos x+i\sin x)^4\\ &=(\cos^4 x-6\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x)\\ &\:\:+i(4\cos^3x\sin x-4\sin^3x\cos x)\\ &=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1+i\{\cos x(4\sin x-8\sin^3 x)\}\end{aligned}$$ 実部どうし，虚部どうしを比較することで四倍角の公式を得る。