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四倍角の公式の証明と考察

更新日時 2021/03/07

四倍角の公式は加法定理から導ける。オイラーの公式(ド・モアブルの定理)からも導ける。

目次
  • 四倍角の公式

  • 加法定理を用いた四倍角の公式の証明

  • オイラーの公式を用いた四倍角の公式の証明

四倍角の公式

sinnx,cosnx\sin nx, \cos nx をそれぞれ sinx,cosx\sin x, \cos x の式で表したものを nn 倍角の公式と言います。2倍角,3倍角の公式については高校の教科書に載っています。→三倍角の公式と変形三倍角の公式

このページでは,四倍角の公式について考えてみます。

四倍角の公式

sin4x=cosx(4sinx8sin3x)cos4x=8cos4x8cos2x+1\sin 4x=\cos x(4\sin x-8\sin^3 x)\\ \cos 4x=8\cos^4 x-8\cos^2 x+1

cos4x\cos 4x の方は,右辺が cosx\cos x のみの式で表されていてキレイです。一方,sin4x\sin 4x の方は sinx\sin xcosx\cos x が混ざっていて少し残念です。

実は,より一般に cosnx\cos nxcosx\cos xnn 次式で表すことができます。cos\cosnn 倍角の公式をもとにチェビシェフ多項式というものが定義されます。→チェビシェフ多項式

加法定理を用いた四倍角の公式の証明

それでは本題,四倍角の公式を証明します。三倍角の公式を導いたときと同じ方法で証明できると考えるのが普通ですね。定番の証明方法です。

証明

sin4x=sin(2x+2x)=2sin2xcos2x=4sinxcosx(12sin2x)=cosx(4sinx8sin3x)\sin 4x\\ =\sin(2x+2x)\\ =2\sin 2x\cos 2x\\ =4\sin x\cos x(1-2\sin^2 x)\\ =\cos x(4\sin x-8\sin^3 x)

cos4x=cos(2x+2x)=2cos22x1=2(2cos2x1)21=8cos4x8cos2x+1\cos 4x\\ =\cos (2x+2x)\\ =2\cos^2 2{x}-1\\ =2(2\cos^2 x-1)^2-1\\ =8\cos^4 x-8\cos^2 x+1

オイラーの公式を用いた四倍角の公式の証明

複素指数関数を用いたスマートな証明も紹介します。→複素指数関数とオイラーの公式

「複素指数関数の指数法則」は加法定理と対応しているので,本質的には加法定理を使うことになるのですが,記述が簡略化され美しいです。

証明

オイラーの公式より,eix=cosx+isinxe^{ix}=\cos x+i\sin xe4ix=cos4x+isin4xe^{4ix}=\cos 4x+i\sin 4x

また,複素指数関数の指数法則より,e4ix=(eix)4e^{4ix}=(e^{ix})^4 なので,

cos4x+isin4x=(cosx+isinx)4\cos 4x+i\sin 4x=(\cos x+i\sin x)^4

右辺を頑張って展開する:

(右辺)

=(cos4x6cos2xsin2x+sin4x)+i(4cos3xsinx4sin3xcosx)=8cos4x8cos2x+1+i(cosx(4sinx8sin3x))=(\cos^4 x-6\cos^2 x\sin^2 x+\sin^4 x)\\ \:\:+i(4\cos^3x\sin x-4\sin^3x\cos x)\\ =8\cos^4 x-8\cos^2 x+1+i(\cos x(4\sin x-8\sin^3 x))

実部どうし,虚部どうしを比較することで四倍角の公式を得る。

機械的に計算できますが,こちらの証明方法の方が少しだけ計算量が多いです。

ちなみに,この証明は nn 倍角の場合に一般化することができ,その途中で得られる式: cosnx+isinnx=(cosx+isinx)n\cos nx+i\sin nx=(\cos x+i\sin x)^n をド・モアブルの定理と呼びます。

ド・モアブルの定理から nn 倍角の公式は全て機械的に導くことができますが,nn 乗を展開するのがめんどうですし,一般形を簡単な式で表すことはできません。

なお,実用上は四倍角の公式を使う場面はない(少なくとも僕は使ったことがありません)ので,三倍角の公式まで覚えておけば充分でしょう。

コサインは持っていてサインは持っていない性質があるってなんか残念ですね。

Tag:三角関数の基本公式一覧

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