因数分解

    更新日時 2021/03/12

    因数分解公式(3つの立方和)

    有名な因数分解公式:

    a3+b3+c33abc=(a+b+c)(a2+b2+c2abbcca)a^3+b^3+c^3-3abc\\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

    教科書レベルを少し越えていますが,難関大を受験する人たちはみんな覚えている有名な因数分解公式です。

    「3つの3乗」が出てきたら,この公式を思い出しましょう。 特に cc が具体的な数字のときには左辺の形に気づきにくいので注意しましょう。

    c=1c=1 のとき

    a3+b3+13ab=(a+b+1)(a2+b2+1abba)a^3+b^3+1-3ab\\ =(a+b+1)(a^2+b^2+1-ab-b-a)

    と因数分解できる。

    → 因数分解公式(3つの立方和)

    因数分解公式(n乗の差,和)

    nn 乗の差の因数分解公式

    anbn=(ab)(an1+an2b++abn2+bn1)a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})

    特に n=2,3n=2, 3 の場合の公式はお馴染みでしょう。 n=2:a2b2=(ab)(a+b)n=3:a3b3=(ab)(a2+ab+b2)n=4:a4b4=(ab)(a3+a2b+ab2+b3)n=2:a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\n=3:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\n=4:a^4-b^4=(a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)

    また,nn が奇数の場合には,bbb-b と置き換えることによって nn 乗の和の公式も作ることができます:

    an+bn=(a+b)(an1an2b+abn2+bn1)a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})

    特に n=3n=3 の場合の公式はお馴染みでしょう。 n=3:a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)n=5:a5+b5=(a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)n=3:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\\n=5:a^5+b^5=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)

    → 因数分解公式(n乗の差,和)

    因数分解公式(ソフィージェルマンの恒等式)

    ソフィー・ジェルマン(Sophie Germain)の恒等式:

    a4+4b4=(a2+2ab+2b2)(a22ab+2b2)a^4+4b^4=(a^2+2ab+2b^2)(a^2-2ab+2b^2)

    一見因数分解不可能な式も因数分解できるので,整数問題で威力を発揮します。

    → 因数分解公式(ソフィージェルマンの恒等式)

    因数分解の発展的な公式・応用例まとめ

    発展公式,応用例,基本公式の三本立てでお送りします!発展公式,応用例がよく分からない人はまずは基本公式を確認してみてください。

    → 因数分解の発展的な公式・応用例まとめ

    交代式の因数分解と実践的な例題

    交代式とは,どの2つの変数を入れ替えても 1-1 倍になるような式のことです。例えば a2b2a^2-b^2 という式は,aabb を入れ替えると b2a2b^2-a^2 となり,元の式の 1-1 倍になるので交代式です。

    このページでは,交代式の意味と,交代式を活用した因数分解の方法について解説します。

    → 交代式の因数分解と実践的な例題

    四次式の因数分解の5パターン

    四次式の因数分解(または方程式を解く)に関する問題は以下の5パターンに分けることができます。

    パターン1ーA:普通に因数定理が使える場合

    パターン1ーB:二次式×二次式に分解できる場合

    パターン2:相反方程式

    パターン3:複二次式

    パターン4:方程式が解けない場合

    → 四次式の因数分解の5パターン

    アイゼンシュタインの定理

    少し長い定理ですが,高校数学の範囲でもしばしば活躍する定理です!

    アイゼンシュタイン(Eisenstein)の既約判定定理:

    ある素数 pp が存在して以下の3つの条件を満たすとき, 整数係数多項式 f(x)=anxn+an1xn1++a1x+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0 を(整数係数の範囲でできるとこまで)因数分解すると必ず kk 次式以上の因数がでてくる。

    • a0a_0pp の倍数だが p2p^2 の倍数でない
    • a1a_1 から ak1a_{k-1} まで全て pp の倍数
    • aka_kpp の倍数でない

    特に,k=nk=nの場合に3つの条件を満たす式は既約(それ以上因数分解できない)です。

    アイゼンシュタインの判定法とも呼ばれます。

    → アイゼンシュタインの定理