因数分解公式（３つの立方和）

$a,\:b,\:c$ が非負のとき，

$a^3+b^3+c^3-3abc\\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ =(a+b+c)\cdot \frac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}\\ \geq 0$

1行目から2行目の変形に因数分解公式を用いた。

上の議論から，$a^3+b^3+c^3 \geq 3abc$ が成立する。

よって，$x,\:y,\:z$ が非負のとき，

$a=\sqrt[3]{x},\:b=\sqrt[3]{y},\:c=\sqrt[3]{z}$ を上の不等式に代入すると

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$ となり，

相加相乗平均の不等式を得る。

不定方程式は以下と同値：

$(x+y+1)(x^2+y^2+1-xy-x-y)=p$

よって，$p$ が素数なので左辺の2つめの因数は $1$ である必要がある：

$\dfrac{1}{2}\{(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2\}=1$

これを満たす自然数の組みは $(x,y)=(1,2),(2,1),(2,2)$ のみ。

$(x,y)=(2,2)$ が解となるときが $p=5$ で最大となる。