たすきがけによる因数分解は覚えなくてもいい

たすきがけによる因数分解

たすきがけとは，二次式を因数分解するための方法です。たすきがけを使って

$3x^2-10x+8$

を因数分解してみましょう。

手順1. かけて $3$（二次の係数）になる2つの整数を適当に決めて左に縦に並べる

手順2. かけて $8$（定数項）になる2つの整数を適当に決めて右に縦に並べる

手順3. 「たすきがけ(斜めにそれぞれ掛け算)」する

手順4. 足し算して $-10$（一次の係数）になればOK

OKの場合，手順1と2で選んだ4つの数字を使って因数分解できます：

$3x^2-10x+8\\ =(1x-2)(3x-4)\\ =(x-2)(3x-4)$

※足し算して $-10$ にならない場合，手順1に戻って別の候補を探します。

たすきがけを用いない方法

二次式の因数分解は，たすきがけを用いなくても， 二次方程式の解の公式を使って機械的に計算できます。

例えば，

「 $3x^2-10x+8$ の因数分解」

を考えてみます。

$3x^2-10x+8=0$

という二次方程式の解を，解の公式を使って計算すると

$x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{3}$

$x=2,\dfrac{4}{3}$

となります。

よって， $ax^2+bx+c=0$ の解が $\alpha,\beta$ であるとき，

$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$

と因数分解できるという性質（※）を使うと，

$3x^2-10x+8\\ =3(x-2)(x-\frac{4}{3})\\ =(x-2)(3x-4)$

と因数分解できます。

※ 上記の性質は，因数定理を使っても証明できますし，直接

$a(x-\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})(x-\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})$

を展開して $ax^2+bx+c$ になることを確認することもできます。

たすきがけを用いない方法のメリット

• たすきがけは直感で「当たり」を見つける必要がありますが，解の公式による方法は機械的に計算できます。そのため，$32x^2+36x-45$ のように数字が大きい場合も，そこまで時間をかけずに確実に因数分解できます）。
• （「因数分解せよ」という問題ではきれいに因数分解できるので）解の公式を使っている途中で，ルートの中身が平方数になることを確認できて，自分の計算に自信が持てます。

2変数の例題

たすきがけによる解答

$3x^2+(2y-8)x-8y^2+14y-3\\ =3x^2+(2y-8)x-(8y^2-14y+3)$

まず，$8y^2-14y+3$ の部分をたすきがけで因数分解すると，上式は

$3x^2+(2y-8)x-(4y-1)(2y-3)$

となる。さらに，上式でもう一回たすきがけを頑張ると，

$(3x-4y+1)(x+2y-3)$

となる。

解の公式を使う解答

$3x^2+(2y-8)x-8y^2+14y-3=0$

を解く。まず，解の公式におけるルートの中身は

$\dfrac{D}{4}=(-y+4)^2-3(-8y^2+14y-3)\\ =25y^2-50y+25\\ =25(y-1)^2$

となり完全平方式になる。

よって，解の公式より

$x=\dfrac{-y+4\pm 5(y-1)}{3}$

$x=\dfrac{4y-1}{3},-2y+3$

よって，因数分解した結果は

$3(x-\dfrac{4y-1}{3})\{x-(-2y+3)\}\\ =(3x-4y+1)(x+2y-3)$

となる。