
たすきがけによる因数分解は覚えなくてもいい
たすきがけによる因数分解のやり方を復習した後,たすきがけを用いない方法を解説します。
たすきがけによる因数分解
たすきがけを用いない方法
たすきがけを用いない方法のメリット
2変数の例題
たすきがけによる因数分解
たすきがけとは,二次式を因数分解するための方法です。たすきがけを使って
を因数分解してみましょう。
手順1. かけて (二次の係数)になる2つの整数を適当に決めて左に縦に並べる
手順2. かけて (定数項)になる2つの整数を適当に決めて右に縦に並べる
手順3. 「たすきがけ(斜めにそれぞれ掛け算)」する
手順4. 足し算して (一次の係数)になればOK
OKの場合,手順1と2で選んだ4つの数字を使って因数分解できます:
※足し算して にならない場合,手順1に戻って別の候補を探します。
たすきがけを用いない方法
二次式の因数分解は,たすきがけを用いなくても, 二次方程式の解の公式を使って機械的に計算できます。
例えば,
「 の因数分解」
を考えてみます。
という二次方程式の解を,解の公式を使って計算すると
となります。
よって, の解が であるとき,
と因数分解できるという性質(※)を使うと,
と因数分解できます。
※ 上記の性質は,因数定理を使っても証明できますし,直接
を展開して になることを確認することもできます。
たすきがけを用いない方法のメリット
- たすきがけは直感で「当たり」を見つける必要がありますが,解の公式による方法は機械的に計算できます。そのため, のように数字が大きい場合も,そこまで時間をかけずに確実に因数分解できます)。
- (「因数分解せよ」という問題ではきれいに因数分解できるので)解の公式を使っている途中で,ルートの中身が平方数になることを確認できて,自分の計算に自信が持てます。
2変数の例題
例題:
を因数分解せよ。
たすきがけによる解答
まず, の部分をたすきがけで因数分解すると,上式は
となる。さらに,上式でもう一回たすきがけを頑張ると,
となる。
解の公式を使う解答
を解く。まず,解の公式におけるルートの中身は
となり完全平方式になる。
よって,解の公式より
よって,因数分解した結果は
となる。
「たすきがけは不要」とまでは言いませんが,たすきがけを忘れてもなんとかやっていける!
高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。