たすきがけによる因数分解のやり方・例題・他の方法

更新日時 2021/03/07
たすきがけ

たすきがけとは,3x210x+83x^2-10x+8 のような二次式を因数分解するための方法です。

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たすきがけによる因数分解のやり方と例題をわかりやすく説明します。

目次
  • たすきがけによる因数分解

  • たすきがけを用いない方法

  • たすきがけを用いない方法のメリット

  • 2変数の例題

たすきがけによる因数分解

以下の例題を使って,たすきがけのやり方を説明します。

例題1

3x210x+83x^2-10x+8 を因数分解せよ。

手順1. かけて 33(二次の係数)になる2つの整数を適当に決めて左に縦に並べる。例えば,1133 はかけて 33 になる。

たすきがけの手順1

手順2. かけて 88(定数項)になる2つの整数を適当に決めて右に縦に並べる。例えば 2-24-4 はかけて 88 になる。

たすきがけの手順2

手順3. 「たすきがけ(斜めにそれぞれ掛け算)」する。今回の例だと,1×(4)=41\times (-4)=43×(2)=63\times (-2)=-6 のように計算できる。

たすきがけの手順3

手順4. 足し算して 10-10(一次の係数)になればOK

たすきがけの手順4

OKの場合,手順1と2で選んだ4つの数を使って因数分解できます:

3x210x+8=(1x2)(3x4)=(x2)(3x4)3x^2-10x+8\\ =(1x-2)(3x-4)\\ =(x-2)(3x-4)

※手順4でうまくいかない場合(足し算して 10-10 にならない場合),手順1に戻って別の候補を探します。

たすきがけを用いない方法

二次式の因数分解は,たすきがけを用いなくても,二次方程式の解の公式を使って機械的に計算できます。

例題1(再掲)

3x210x+83x^2-10x+8 を因数分解せよ。

たすきがけを用いない方法

3x210x+8=03x^2-10x+8=0 という二次方程式の解を,解の公式を使って計算すると

x=5±25243x=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{3}

x=2,43x=2,\dfrac{4}{3}

となる。よって,ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の解が α,β\alpha,\beta であるとき,ax2+bx+c=a(xα)(xβ)ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta) と因数分解できる
という性質(※)を使うと,

3x210x+8=3(x2)(x43)=(x2)(3x4)3x^2-10x+8\\ =3(x-2)(x-\frac{4}{3})\\ =(x-2)(3x-4)

と因数分解できる。

上記の性質は,因数定理を使っても証明できますし,直接

a(xb+b24ac2a)(xbb24ac2a)a\left(x-\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)\left(x-\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)

を展開して ax2+bx+cax^2+bx+c になることを確認することもできます。

たすきがけを用いない方法のメリット

  • たすきがけは直感で「当たり」を見つける必要がありますが,解の公式による方法は機械的に計算できます。そのため,32x2+36x4532x^2+36x-45 のように数字が大きい場合も,そこまで時間をかけずに確実に因数分解できます。
  • 「因数分解せよ」という問題ではきれいに因数分解できるので)解の公式を使っている途中で,ルートの中身が平方数になることを確認できて,自分の計算に自信が持てます。

2変数の例題

例題

3x2+2xy8y28x+14y33x^2+2xy-8y^2-8x+14y-3 を因数分解せよ。

たすきがけによる解答

3x2+(2y8)x8y2+14y3=3x2+(2y8)x(8y214y+3)3x^2+(2y-8)x-8y^2+14y-3\\ =3x^2+(2y-8)x-(8y^2-14y+3)

まず,8y214y+38y^2-14y+3 の部分をたすきがけで因数分解すると,上式は

2変数のたすきがけ

3x2+(2y8)x(4y1)(2y3)3x^2+(2y-8)x-(4y-1)(2y-3)

となる。さらに,上式でもう一回たすきがけを頑張ると,

2変数のたすきがけ2

(3x4y+1)(x+2y3)(3x-4y+1)(x+2y-3)

となる。

解の公式を使う解答

3x2+(2y8)x8y2+14y3=03x^2+(2y-8)x-8y^2+14y-3=0

を解く。まず,解の公式におけるルートの中身は

D4=(y+4)23(8y2+14y3)=25y250y+25=25(y1)2\dfrac{D}{4}=(-y+4)^2-3(-8y^2+14y-3)\\ =25y^2-50y+25\\ =25(y-1)^2

となり完全平方式になる。

よって,解の公式より

x=y+4±5(y1)3x=\dfrac{-y+4\pm 5(y-1)}{3}

x=4y13,2y+3x=\dfrac{4y-1}{3},-2y+3

よって,因数分解した結果は

3(x4y13){x(2y+3)}=(3x4y+1)(x+2y3)3(x-\dfrac{4y-1}{3})\{x-(-2y+3)\}\\ =(3x-4y+1)(x+2y-3)

となる。

「たすきがけは不要」とまでは言いませんが,たすきがけを忘れてもなんとかやっていける!