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導関数の意味といろいろな例

更新日時 2021/03/07

微分係数と導関数の意味を確認した後,いろいろな関数の導関数を計算します。導関数の計算で高校数学の総復習ができます。

目次
  • 微分係数と導関数

  • 導関数の計算で高校数学を総復習

  • 導関数の計算例

微分係数と導関数

微分係数とは

微分係数の意味

微分係数 f(a)f'(a) の定義は,

f(a)=limh0f(a+h)f(a)hf'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

です。微分係数は,関数 f(x)f(x)x=ax=a における接線の傾きを表します。

導関数とは

導関数 f(x)f'(x) の定義は,

f(x)=limh0f(x+h)f(x)hf'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

です。導関数とは「いろいろな aa における微分係数を集めて,それを関数とみなしたもの」です。「値を入力したらその値における微分係数を返す関数」とも言えます。

微分係数は「値」ですが,導関数は「関数」です。定義は似ていますが,意味は違います。

微分するとは

「導関数を計算する」ことを「微分する」と言います。

導関数の計算で高校数学を総復習

「いろいろな関数の導関数を定義に従って計算する」ことで高校数学のいろいろな分野の復習ができます。

例えば,

xnx^n の微分は 二項定理

1x\dfrac{1}{x} の微分は 分数式の計算

x\sqrt{x} の微分は 有理化

sinx\sin x の微分は 三角関数の加法定理

exe^x の微分は ネイピア数の性質

をそれぞれ理解していないと難しいです(計算の詳細は後述)。

つまり,上記の導関数たちを定義に従ってスラスラ計算できれば,高校数学全体を(おおまかには)理解していると言えるでしょう。

導関数の計算例

上記の5つの関数について,定義に従って導関数を計算してみます。

xnx^n の導関数(二項定理の復習)

limh0(x+h)nxnh=limh0nhxn1+nC2h2xn2++hnh=nxn1\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{nhx^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2h^2x^{n-2}+\cdots +h^n}{h}\\ =nx^{n-1}

詳細はべき関数(y=x^n)の微分公式の3通りの証明

1x\dfrac{1}{x} の導関数(分数式の計算の復習)

limh01x+h1xh=limh01h{x(x+h)x(x+h)}=1x2\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}\right\}\\ =-\dfrac{1}{x^2}

x\sqrt{x} の導関数(有理化の復習)

limh0x+hxh=limh0(x+h)xh(x+h+x)=12x\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ =\dfrac{1}{2\sqrt{x}}

sinx\sin x の導関数(加法定理の復習)

limh0sin(x+h)sinxh=limh0sinx(cosh1)+cosxsinhh=cosx\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\\ =\cos x

詳細はsinxの微分公式の3通りの証明

exe^x の導関数(ネイピア数の復習)

limh0ex+hexh=limh0exeh1h=ex\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ =\displaystyle\lim_{h\to 0}e^x\cdot\dfrac{e^h-1}{h}\\ =e^x

極限計算の詳細は指数関数と対数関数の極限の公式

「高校数学の美しい物語」と言いつつ最近は大学数学が多かったので,今回は高校数学の基礎です。

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