導関数の意味といろいろな例

微分係数とは

微分係数 $f'(a)$ の定義は，

$f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

です。微分係数は，関数 $f(x)$ の $x=a$ における接線の傾きを表します。

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→ 微分係数の定義

導関数とは

導関数 $f'(x)$ の定義は，

$f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

です。導関数とは「いろいろな $a$ における微分係数を集めて，それを関数とみなしたもの」です。「値を入力したらその値における微分係数を返す関数」とも言えます。

微分係数は「値」ですが，導関数は「関数」です。定義は似ていますが，意味は違います。

微分するとは

「導関数を計算する」ことを「微分する」と言います。

「いろいろな関数の導関数を定義に従って計算する」ことで高校数学のいろいろな分野の復習ができます。

例えば，

• $x^n$ の微分は 二項定理

• $\dfrac{1}{x}$ の微分は 分数式の計算

• $\sqrt{x}$ の微分は 有理化

• $\sin x$ の微分は 三角関数の加法定理

• $e^x$ の微分は ネイピア数の性質

をそれぞれ理解していないと難しいです（計算の詳細は後述）。

つまり，上記の導関数たちを定義に従ってスラスラ計算できれば，高校数学全体を（おおまかには）理解していると言えるでしょう。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT8では，$\sqrt{x}$ の微分について詳しく解説しています。

上記の5つの関数について，定義に従って導関数を計算してみます。

$x^n$ の導関数（二項定理の復習）

$$\begin{aligned} &\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{nx^{n-1}h+{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2} h^2 +\cdots +h^n}{h}\\ &=nx^{n-1} \end{aligned}$$

詳細はべき関数（y=x^n）の微分公式の３通りの証明

$\dfrac{1}{x}$ の導関数（分数式の計算の復習）

$$\begin{aligned} &\lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left\{\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}\right\}\\ &=-\dfrac{1}{x^2} \end{aligned}$$

$\sqrt{x}$ の導関数（有理化の復習）

$$\begin{aligned} &\lim_{h\to 0}\dfrac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\\ &=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned}$$

$\sin x$ の導関数（加法定理の復習）

$$\begin{aligned} &\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h}{h}\\ &=\cos x \end{aligned}$$

詳細はsinxの微分公式の３通りの証明

$e^x$ の導関数（ネイピア数の復習）

$$\begin{aligned} &\lim_{h\to 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}e^x\cdot\dfrac{e^h-1}{h}\\ &=e^x \end{aligned}$$

極限計算の詳細は指数関数と対数関数の極限の公式

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