微分係数の定義

更新 2022/10/07

y=f(x)y=f(x)y=f(x) の xxx の値が aaa から bbb に変化するときの平均変化率
f(b)−f(a)b−a\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}b−af(b)−f(a)​
において bbb を限りなく aaa に近づけたときの値を，関数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) の x=ax=ax=a における微分係数といいます。
微分係数を用いることで曲線の接線の式を求めることができます。
詳しくは
微分を用いた接線の方程式の公式
をご覧ください。
また，具体的な計算例を
導関数の意味といろいろな例
で紹介しています。

微分係数の定義式・求め方

関数 $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ の定義は，以下のように表せます。

微分係数の定義

$f'(a)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

定義式は， $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ の式を $x=a+h$ で置いた式となっています。 $f'(a)$ は関数 $y=f(x)$ のグラフ上の点 $(a，f(a))$ における接線の傾きを表しています。

微分係数の表し方

微分係数にはいろいろな表し方があります。以下は全て $y=f(x)$ の $x=a$ における微分係数を表す記号です。

$\begin{aligned} f'(a)&=\dfrac{df}{dx}(a)=\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=a}=y'|_{x=a}=\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=a} \end{aligned}$

微分係数と導関数の違い

微分係数と導関数は混同されがちですが，全くの別物です。違いを理解しておきましょう。

微分係数 $f'(a)$ は定数であり，関数 $y=f(x)$ 上の $x = a$ における接線の傾きの「値」を表すもの
導関数 $f'(x)$ は関数であり， $x$ を与えると， $x$ における関数 $y=f(x)$ 上の接線の傾きが返ってくるもの

もっとも大きな違いとしては微分係数は定数で，導関数は $x$ の関数であるということです。

微分係数を用いた例題

実際に例題を解くことで理解を深めましょう。

例1

関数 $f(x)=2x^2+4x-1$ について以下の問いに答えよ。

(1) $x$ の値が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。

(2)定義に従って， $f'(a)$ の値を求めよ。

定義の式を使って式変形をするだけです。定義の式をしっかりと理解したうえで計算していきましょう。

解答

(1)

$\begin{aligned} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} &=\dfrac{(2b^2+4b-1)-(2a^2+4a-1)}{b-a}\\ &=\dfrac{2(b^2-a^2)+4(b-a)}{b-a}\\ &=2(b+a)+4\\ &=2a+2b+4 \end{aligned}$

(2)

$\begin{aligned} f'(a)&=\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\dfrac{\{2(a+h)^2+4(a+h)-a\}-(2a^2+4a-1)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\dfrac{4ah+2h^2+4h}{h}\\ &=\lim_{h\to0}(4a+2h+4)\\ &=4a+4 \end{aligned}$

定義式とは何なのかさえ理解していれば，簡単ですね。

例2

$f(x)$ が微分可能な関数であるとき，次の式を $a，f(a)，f'(a)$ を用いて表せ。

(1) $\lim_{x\to a}\dfrac{x^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}$

(2) $\lim_{x\to a}\dfrac{x^nf(a)-a^nf(x)}{x-a}$

与えられた式を， $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ や $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ などの形になるように変形していく問題です。このような形にすることで，定義式を使うことができて，計算を進めることができます。

証明

(1) $\begin{aligned} \text{与式}&=\lim_{x\to a}\left\{\dfrac{(x^2-a^2)f(a)}{x-a}+\dfrac{a^2f(a)-a^2f(x)}{x-a}\right\}\\ &=\lim_{x\to a}\left\{(x+a)f(a)-a^2\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\}\\ &=2af(a)-a^2f'(a) \end{aligned}$

(2) $\begin{aligned} \text{与式}&=\lim_{x\to a}\left\{\dfrac{(f(x)-f(a))a^n}{x-a}+\dfrac{(x^n-a^n)}{x-a}f(x)\right\}\\ &=\lim_{x\to a}\left\{(x^{n-1}+ax^{n-2}+a^2x{n-3}+\cdots+a^{n-1})f(a)\\-a^n\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\right\}\\ &=na^{n-1}f(a)-a^nf'(a) \end{aligned}$

微分係数と導関数との違いを理解して，定義式をうまく利用できるようにしていきましょう。

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