微分を用いた接線の方程式の公式

点 $A$ における微分係数 $f'(a)$ は（微分係数の定義より）図において $B$ を $A$ に近づけていったときの直線 $AB$ の傾きの極限である。つまり，$A(a,f(a))$ における接線の傾きは $f'(a)$ である。

傾きが $f'(a)$ で $(a,f(a))$ を通る直線の方程式は， $$y-f(a)=f'(a)(x-a)$$ である。これが求める接線の方程式。

$y'=2x-3$ であり，$x=1$ における微分係数は $-1$ である。

よって求める接線の方程式は， $$y-(-2)=-1(x-1)$$

つまり，$y=-x-1$

二次関数の接線は判別式を用いて求めることもできる。接線の方程式を $y-(-2)=m(x-1)$ とおくと，接線と二次関数の共有点は1つであるので，二次方程式 $x^2-3x=mx-m-2$ は重解を持つ。この二次方程式を整理すると，

$$x^2-(m+3)x+m+2=0$$

この判別式が $0$ になるので，

$$(m+3)^2-4(m+2)=0\\ m^2+2m+1=0\\ (m+1)^2=0$$

よって，$m=-1$

つまり，求める接線の方程式は，$y+2=-(x-1)$

三次関数 $y=x^3-2x$ の導関数は $y'=3x^2-2$ である。よって，$(a,a^3-2a)$ における接線の方程式は，

$$y-(a^3-2a)=(3a^2-2)(x-a)$$

これが $(1,3)$ を通るとき $3-a^3+2a=(3a^2-2)(1-a)$

これを整理すると，

$$3-a^3+2a=3a^2-2-3a^3+2a\\ 2a^3-3a^2+5=0\\ (a+1)(2a^2-5a+5)=0$$

実数解は $a=-1$ のみ。

よって，接点の座標は $(-1,1)$ となり，接線の方程式は $y=x+2$ となる。

二次関数の場合と同じく三次関数の場合も判別式で強引に解ける。

接線の方程式を $y=m(x-1)+3$ とおくと，三次方程式

$$x^3-2x=m(x-1)+3$$ は重解を持つ。この方程式を整理すると，

$$x^3-(m+2)x+m-3=0$$

この判別式（→三次方程式の判別式）が $0$ になるので，

$$4(m+2)^3-27(m-3)^2=0$$

この三次方程式を頑張って解くと，実数解は $m=1$ のみであることが分かる。よって，接線の方程式は $y=x+2$