円の接線の方程式を求める公式の３通りの証明

公式 $x_0x+y_0y=r^2$ に対して $x_0=3,y_0=4,r^2=25$ とすればよいので，

$3x+4y=25$ が答え。

・ $x_0\neq 0,y_0\neq 0$ のとき

$(x_0,y_0)$ における接線は，直線 $y=\dfrac{y_0}{x_0}x$ と直交するので，その傾きは $-\dfrac{x_0}{y_0}$ である。

よって，通る一点と傾きが分かったので求める方程式は，

$y-y_0=-\dfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)$ と分かる。

これを整理すると，$\dfrac{x_0}{y_0}x+y=\dfrac{x_0^2}{y_0}+y_0$

$x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2$

また，$(x_0,y_0)$ は円上の点であることから $x_0^2+y_0^2=r^2$

以上より求める方程式は $x_0x+y_0y=r^2$

・ $x_0,y_0$ のいずれかが $0$ であるときも簡単に確認できる。

ベクトル $(x_0,y_0)$ は，点 $(x_0,y_0)$ における円の法線ベクトルである（図形的に分かるし，偏微分からも分かる）。

よって（定数 $k$ を用いて）接線の方程式は $x_0x+y_0y=k$ と書ける。

これが，$(x_0,y_0)$ を通るので，$k=x_0^2+y_0^2=r^2$

以上より求める接線の方程式は $x_0x+y_0y=r^2$

$y_0\neq 0$ の場合のみ証明する。

$(x_0,y_0)$ を通る方程式は，$y-y_0=a(x-x_0)$

つまり，$ax-y-ax_0+y_0=0$ （＊）と書ける。

この直線と原点の距離が $r$ になるとき，接線の方程式となるので，点と直線の距離公式より，

$\dfrac{|-ax_0+y_0|}{\sqrt{a^2+1}}=r$

$r^2=x_0^2+y_0^2$ に注意して上式を変形していく：

$(-ax_0+y_0)^2=r^2(a^2+1)$

$a^2x_0^2+y_0^2-2ax_0y_0=(x_0^2+y_0^2)(a^2+1)$

$-2ax_0y_0=x_0^2+a^2y_0^2$

$(x_0+ay_0)^2=0$

よって，$a=-\dfrac{x_0}{y_0}$

求める方程式は，（＊）に代入して整理すると $x_0x+y_0y=r^2$ となる。