楕円の接線を求める公式とその証明

$y_0=0$ のとき公式が正しいことは簡単に確認できる。以下 $y_0\neq 0$ とする。

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の両辺を $x$ で微分すると，

$$\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=0$$

よって， $$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$$

なので，求める接線の傾きは， $-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$ である。

よって，接線の方程式は，

$$y-y_0 = -\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0} (x-x_0)$$

$$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}$$

$P$ が楕円上の点であることから，上式は，$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$

となる。

考えている図形を $y$ 軸方向に $\dfrac{a}{b}$ 倍に拡大すると，

楕円： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ → 円： $x^2+y^2=a^2$

点 $P$ ： $(x_0,y_0)$ → $\left( x_0,\dfrac{a}{b}y_0 \right)$

変換後の接線の方程式は円の場合の結果より，

$$x_0x+\dfrac{a}{b}y_0y=a^2$$

これを $\dfrac{b}{a}$ 倍に縮小する（もとの世界に戻す）と，

$$x_0x+\dfrac{a}{b}y_0\cdot\dfrac{a}{b}y=a^2$$

つまり，$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$

まず図形全体を $x$ 方向に $-A$，$y$ 方向に $-B$ 平行移動する。

楕円の式は $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$，点 $\mathrm{P}$ は $(x_0 - A , y_0 - B)$ に移る。（これを点 $\mathrm{P}'$ とおく）

中心が原点である楕円の接線の方程式の公式を用いると，点 $\mathrm{P}'$ での接線の方程式 $$\dfrac{x_0 - A}{a^2} x + \dfrac{y_0 - B}{b^2} = 1$$ を得る。

図形全体を $x$ 方向に $A$，$y$ 方向に $B$ 平行移動して元に戻すことで $$\dfrac{(x-A)(x_0-A)}{a^2}+\dfrac{(y-B)(y_0-B)}{b^2}=1$$ を得る。