楕円の接線を求める公式とその証明

$y_0=0$ のとき公式が正しいことは簡単に確認できる。以下 $y_0\neq 0$ とする。

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の両辺を $x$ で微分すると，

$\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=0$

よって，$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{b^2x}{a^2y}$

なので，求める接線の傾きは，

$-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$

よって，接線の方程式は，

$y-y_0=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0)$

$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=\dfrac{x_0^2}{a^2}+\dfrac{y_0^2}{b^2}$

$P$ が楕円上の点であることから，上式は，$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$

となる。

考えている図形を $y$ 軸方向に $\dfrac{a}{b}$ 倍に拡大すると，

楕円： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ → 円： $x^2+y^2=a^2$

点 $P$ ： $(x_0,y_0)$ → $(x_0,\dfrac{a}{b}y_0)$

変換後の接線の方程式は円の場合の結果より，

$x_0x+\dfrac{a}{b}y_0y=a^2$

これを $\dfrac{b}{a}$ 倍に縮小する（もとの世界に戻す）と，

$x_0x+\dfrac{a}{b}y_0\cdot\dfrac{a}{b}y=a^2$

つまり，$\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$