楕円の面積公式の３通りの導出

$a=3,b=4$ として公式を使うと $$S=\pi\times 3\times 4=12\pi$$

平行移動しても楕円の面積は変わらないので，$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$ の面積を求めればよい。

よって，楕円の面積公式より答えは$$\pi \cdot 3\cdot 4=12\pi$$

楕円の式： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の両辺を $a^2$ 倍すると， $x^2+\left(\dfrac{a}{b}y\right)^2=a^2$ となる。

これは，円：$x^2+y^2=a^2$ を $y$ 軸方向に $\dfrac{b}{a}$ 倍に拡大したものである。

図形を縦に $\dfrac{b}{a}$ 倍に拡大すると面積も $\dfrac{b}{a}$ 倍になるので，楕円の面積 $S$ は $\pi a^2\times\dfrac{b}{a}=\pi ab$ となる。

楕円の方程式を $y$ について解くと，

$y=\pm b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}$ となる（楕円の上半分がプラスの符号，下半分はマイナスの符号に対応している）。

よって，楕円の面積 $S$ は青い部分の面積の $4$ 倍なので，

$$S= 4\int_0^{a}b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}dx$$

ここで，$x=a\cos\theta\: (0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{2})$ と置換すると，

$\dfrac{dx}{d\theta}=-a\sin\theta$ であるので，

$$\begin{aligned} S &= 4\int_{\frac{\pi}{2}}^0 b\sqrt{1-\cos^2\theta} (-a) \sin\theta d\theta\\ &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} ab\sin^2\theta d\theta\\ &= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} ab\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}d\theta\\ &= \pi ab- \Big[ \sin 2\theta \Big]_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &= \pi ab \end{aligned}$$

上記のように楕円を媒介変数表示すると，$x'=-a\sin t,\:y'=b\cos t$ なので，ガウスグリーンの定理より，

$$\begin{aligned} S &= \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{2} (ab\cos t\cos t+ab\sin t\sin t) dt\\ &= \int_0^{2\pi}\dfrac{1}{2}abdt\\ &= \pi ab \end{aligned}$$