楕円の周の長さの求め方と近似公式

まず，楕円を $x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$ と媒介変数表示する。

弧長積分の公式より

$$\begin{aligned} L&=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(-a\sin\theta)^2+(b\cos\theta)^2}d\theta\\ &=4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin^2\theta+\frac{b^2}{a^2}\cos^2\theta}d\theta\\ &=4a\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\epsilon^2\cos^2\theta}d\theta \end{aligned}$$

一般化二項定理を用いて被積分関数を展開する：

$$\sqrt{1-\epsilon^2\cos^2\theta}= \sum_{t=0}^{\infty} (-1)^t{}_{\frac{1}{2}}\mathrm{C}_t\epsilon^{2t}\cos^{2t}\theta$$

ただし，

$$\begin{aligned} {}_{\frac{1}{2}}\mathrm{C}_t &= \dfrac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2}-1) \cdots(\frac{1}{2}-t+1)}{t!}\\ &= \dfrac{(-1)(-3)\cdots (-2t+3)}{2^tt!}\\ &= (-1)^{t-1}\dfrac{(2t-3)!!}{(2t)!!}\\ &= \dfrac{(-1)^{t-1}}{2t-1}c_t \end{aligned}$$

以上より， $$L=4a \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{t=0}^{\infty}\dfrac{(-1)}{2t-1}c_t\epsilon^{2t}\cos^{2t}\theta d\theta$$

ここで，積分とシグマを交換する（厳密には一様収束→項別積分可能を使う）：

$$L=-4a\sum_{t=0}^{\infty}\dfrac{c_t\epsilon^{2t}}{2t-1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2t}\theta d\theta$$

$\cos$ の $n$ 乗の積分公式より $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2t}\theta d\theta=\dfrac{\pi}{2}c_t$ となる。

よって， $$L=2\pi a\sum_{t=0}^{\infty}c_t^2\dfrac{\epsilon^{2t}}{1-2t}$$ である。