一般化二項定理とルートなどの近似

$$\sqrt{1.01}=(1+0.01)^{\frac{1}{2}}$$

なので，$\alpha=\dfrac{1}{2}$ の場合の一般化二項定理が使える：

$$\sqrt{1.01}=1+\dfrac{0.01}{2}+\dfrac{0.5(0.5-1)}{2!}0.01^2+\cdots$$

右辺第三項以降は $0.01$ の高次の項であり無視すると，

$$\sqrt{1.01}\fallingdotseq 1+\dfrac{0.01}{2}=1.005$$

となる（実際は $\sqrt{1.01}=1.004987\cdots$）。

$$\begin{aligned} &(27+0.54)^{\frac{1}{3}}\\ &=3(1+0.02)^{\frac{1}{3}}\\ &\fallingdotseq 3\left(1+\dfrac{0.02}{3}\right)\\ &=3.02 \end{aligned}$$

$f(x)=(1+x)^{\alpha}$ のマクローリン展開を求める。

そのために $f(x)$ の $k$ 階微分を求める：

$$f^{(k)} (x)=\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}$$

これに $x=0$ を代入すると，$F(\alpha,k)k!$ となる。

よって $f(x)$ のマクローリン展開は，

$$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{F(\alpha,k)k!}{k!}x^k= \sum_{k=0}^{\infty}F(\alpha,k)x^k$$

となる。この級数が収束してもとの関数値と等しいこと： $$f(x)= \sum_{k=0}^{\infty}F(\alpha,k)x^k$$ を証明するために，剰余項を評価する。→テイラーの定理とテイラー展開～例と証明

剰余項は，

$$\begin{aligned} R_n &= f^{(n)} (c)\dfrac{x^n}{n!}\\ &= \alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)(1+x)^{\alpha-n}\dfrac{x^n}{n!} \end{aligned}$$

ただし，$0< c < x < 1$ である。

よって，$n$ が十分大きいとき， $$|R_n|<\dfrac{|\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)|}{n!}x^n$$

となるが，右辺の分数の部分は上から $n$ のべき関数 $(|\alpha|+n)^{|\alpha|}$ くらいでおさえられる（例えば $\alpha=-100$ とかで実験してみるとわかる）。よって，指数関数 $x^n$ の方が強く $\displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n=0$ となる。