変数分離形の微分方程式の解法と例題

更新日時 2021/03/07

微分方程式について簡単に述べた後，微分方程式の最も基本的なパターンの一つ「変数分離形微分方程式」を解説します。数検1級や大学の期末試験でも頻出です。

微分方程式とは
変数分離形微分方程式
変数分離形の解法
空気抵抗がある場合の自由落下

微分方程式とは微分方程式とは，大雑把に言うと，y′=2xy2y'=2xy^2y′=2xy2
 のように，関数
yyy
 と，その導関数（高階導関数も含む）が含まれているような関数方程式のことです。
微分方程式の中でも
y′=2xy2y'=2xy^2y′=2xy2
 のように，一変数関数とその導関数からなるものを
常微分方程式と言います。一方，多変数関数と，その偏微分からなるものを
偏微分方程式と言います。
微分方程式を満たす関数
yyy
 を求めることを，微分方程式を解くと言います。

変数分離形微分方程式

微分方程式の代表的な例の１つである，変数分離形について説明します。

変数分離形の微分方程式とは，

$y'=p(x)q(y)$

のように， $y'=$ ( $x$ の関数)×( $y$ の関数)と表すことができる微分方程式のこと

例

$y'=(y^2+5y)x^2$ は変数分離形
$y'x=(2\log x)y$ は $y'=\dfrac{2\log x}{x}\cdot y$ と変形できるので変数分離形
$y'=y$ は $p(x)=1$ となる変数分離形

注：最後の例のように $p(x)=1$ の場合が頻出です（例えば，後述する空気抵抗がある場合の自由落下など）。

以下の二点の理由により，変数分離形微分方程式は非常に重要です！

変数分離形を解くのは簡単（後述）
かなり多くの微分方程式が（うまく変形することで）変数分離形で表せる

変数分離形の解法

変数分離形の微分方程式の解き方を説明します。

$y'=p(x)q(y)$ という微分方程式は，以下の2ステップで解くことができます。

1． $\dfrac{y'}{q(y)}=p(x)$ と変形する

2．両辺を $x$ で積分する： $\displaystyle\int \dfrac{y'}{q(y)}dx=\displaystyle\int p(x)dx$

左辺は置換積分の公式により $\displaystyle\int \dfrac{dy}{q(y)}$ と等しい。よって両辺ともに普通に積分すればよい。

例題

$y'=2xy^2$ を満たす $x$ の（微分可能な）関数 $y$ を求めよ。さらに，このような関数の中で $x=0$ のとき $y=-1$ であるようなものを求めよ。

解答

これは変数分離形の微分方程式である。両辺を $y^2$ で割る（ $y=0$ という関数は明らかに解であるのでそれ以外の解を求める＆注参照）と，

$\dfrac{y'}{y^2}=2x$

両辺を $x$ で積分すると，

$\displaystyle\int \dfrac{dy}{y^2}=\displaystyle\int 2x dx$

よって積分定数を $C$ として， $-\dfrac{1}{y}=x^2+C$

つまり， $y=-\dfrac{1}{x^2+C}$

$x$ の連続関数となるには $C > 0$ が必要。

さらに， $x=0$ のとき $y=-1$ となる場合は， $-1=-\dfrac{1}{C}$ となるので $C=1$

つまり求める関数は， $y=-\dfrac{1}{x^2+1}$

注（追記）：厳密には「 $y$ が $0$ も $0$ 以外も取りうる関数」を排除する必要があります。

これを厳密に行うには「（初期値問題の）微分方程式の解の一意性」という大学で習う難しい定理が必要になります（ $y=0$ という解があることと，解の一意性より「 $y$ が $0$ も $0$ 以外も取りうる関数」は存在しない）。

読者の方のご指摘により気づくことができましたm(__)m

空気抵抗がある場合の自由落下

変数分離形微分方程式のさらなる応用例として，空気抵抗がある場合の自由落下を表す方程式を解いてみます。

例題

$m\dfrac{dv}{dt}=mg-kv$

を満たす $t$ の関数 $v$ を求めよ。ただし， $t=0$ のとき $v=0$ とする。

$v$ は物体の速さ， $t$ は時刻， $m,g,k$ は定数です。（ $m$ は質量， $g$ は重力加速度， $k$ は空気抵抗の強さを表す定数）

解答

左辺に $t$ は登場せず $v$ のみの関数であるので変数分離形である。

よって，両辺を $mg-kv$ で割って（注），

$\dfrac{m}{mg-kv}\dfrac{dv}{dt}=1$

両辺を $t$ で積分すると，

$\displaystyle\int\dfrac{mdv}{mg-kv}=\displaystyle\int dt$

よって積分定数を $C$ として， $\log |mg-kv|=-\dfrac{kt}{m} +C$

ここで， $t=0$ のとき $v=0$ より $\log mg=C$

よって，さきほどの式を $v$ について解くと， $v=\dfrac{mg}{k}(1-e^{-\frac{kt}{m}})$

注： $v=\dfrac{mg}{k}$ （定数）という関数も解ですが， $t=0$ のとき $v=0$ という初期条件を満たさないので他の解を探します。

物理の基本方程式の多くは微分方程式です。

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