変数分離形の微分方程式の解法と例題

更新日時 2022/03/06

変数分離形

変数分離形の微分方程式とは，
$\dfrac{dy}{dx}=p(x)q(y)$
のように， $\dfrac{dy}{dx}=$ ( $x$ の関数)×( $y$ の関数)と表せる微分方程式のこと。

微分方程式の最も基本的なパターンの一つ変数分離形微分方程式について解説します。数検1級や大学の期末試験でも頻出です。

変数分離形の微分方程式について

微分方程式とは，大雑把に言うと， $\dfrac{dy}{dx}=2xy^2$ のように，関数 $y$ と，その導関数（高階導関数も含む）が含まれているような関数方程式です。
微分方程式の中でも，変数分離形は「簡単に解ける」かつ「多くの微分方程式が変数分離形に帰着できる」のでとても大事です。

例

$\dfrac{dy}{dx}=x^2(y^2+5y)$
は，右辺が「 $x$ の関数( $x^2$ )」と「 $y$ の関数( $y^2+5y$ )」の積なので変数分離形
$\dfrac{dy}{dx}=y$
は，右辺が「 $x$ の関数( $1$ )」と「 $y$ の関数( $y$ )」の積なので変数分離形

注：最後の例のように「 $x$ の関数」の部分が $1$ である場合が頻出です。例えば，後述する空気抵抗がある場合の自由落下など，物理でも登場します）。

変数分離形の解法と例題

変数分離形の微分方程式の解き方を説明します。

変数分離形の解き方

$\dfrac{dy}{dx}=p(x)q(y)$ という微分方程式は，以下の2ステップで解ける。

$\dfrac{1}{q(y)}\dfrac{dy}{dx}=p(x)$ と変形する
両辺を $x$ で積分する： $\displaystyle\int \dfrac{1}{q(y)}\dfrac{dy}{dx}dx=\displaystyle\int p(x)dx$

左辺は置換積分の公式により $\displaystyle\int \dfrac{1}{q(y)}dy$ と等しい。よって両辺ともに普通に積分すればよい。

例題1

微分方程式 $\dfrac{dy}{dx}=y(x)$ を解け。ただし， $x=0$ のとき $y=1$ とする。

解答

$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=1$ と変形し，両辺を $x$ で積分すると，

$\displaystyle\int\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}dx=\displaystyle\int 1dx$

$\log |y|=x+C$

$y=e^{x+C}$

$x=0$ のとき $y=1$ より， $C=0$ ，よって答えは $y=e^x$

例題2

$y'=2xy^2$ を満たす $x$ の（微分可能な）関数 $y$ を求めよ。さらに，このような関数の中で $x=0$ のとき $y=-1$ であるようなものを求めよ。

解答

これは変数分離形の微分方程式である。両辺を $y^2$ で割る（ $y=0$ という関数は明らかに解であるのでそれ以外の解を求める＆注参照）と，

$\dfrac{y'}{y^2}=2x$

両辺を $x$ で積分すると，

$\displaystyle\int \dfrac{dy}{y^2}=\displaystyle\int 2x dx$

よって積分定数を $C$ として， $-\dfrac{1}{y}=x^2+C$

つまり， $y=-\dfrac{1}{x^2+C}$

$x$ の連続関数となるには $C > 0$ が必要。

さらに， $x=0$ のとき $y=-1$ となる場合は， $-1=-\dfrac{1}{C}$ となるので $C=1$

つまり求める関数は， $y=-\dfrac{1}{x^2+1}$

注（追記）：厳密には「 $y$ が $0$ も $0$ 以外も取りうる関数」を排除する必要があります。これを厳密に行うには「（初期値問題の）微分方程式の解の一意性」という大学で習う難しい定理が必要になります（ $y=0$ という解があることと，解の一意性より「 $y$ が $0$ も $0$ 以外も取りうる関数」は存在しない）。