変数分離形の微分方程式の解法と例題

$\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=1$ と変形し，両辺を $x$ で積分すると，

$\displaystyle\int\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}dx=\displaystyle\int 1dx$

$\log |y|=x+C$

$y=e^{x+C}$

$x=0$ のとき $y=1$ より，$C=0$，よって答えは $y=e^x$

これは変数分離形の微分方程式である。両辺を $y^2$ で割る（$y=0$ という関数は明らかに解であるのでそれ以外の解を求める＆注参照）と，

$\dfrac{y'}{y^2}=2x$

両辺を $x$ で積分すると，

$\displaystyle\int \dfrac{dy}{y^2}=\displaystyle\int 2x dx$

よって積分定数を $C$ として，$-\dfrac{1}{y}=x^2+C$

つまり， $y=-\dfrac{1}{x^2+C}$

$x$ の連続関数となるには $C > 0$ が必要。

さらに，$x=0$ のとき $y=-1$ となる場合は，$-1=-\dfrac{1}{C}$ となるので $C=1$

つまり求める関数は， $y=-\dfrac{1}{x^2+1}$

左辺に $t$ は登場せず $v$ のみの関数であるので変数分離形である。

よって，両辺を $mg-kv$ で割って（注），

$\dfrac{m}{mg-kv}\dfrac{dv}{dt}=1$

両辺を $t$ で積分すると，

$\displaystyle\int\dfrac{mdv}{mg-kv}=\displaystyle\int dt$

よって積分定数を $C$ として，$\log |mg-kv|=-\dfrac{kt}{m} +C$

ここで，$t=0$ のとき $v=0$ より $\log mg=C$

よって，さきほどの式を $v$ について解くと， $v=\dfrac{mg}{k}(1-e^{-\frac{kt}{m}})$