関数の連続性と一様連続性

更新日時 2023/03/28

連続とは

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
が成立するとき，関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続という。
また，定義域（考えている区間内）の任意の点 $a$ で関数 $f$ が連続のとき， $f$ を連続関数と呼ぶ。

関数の連続性と一様連続性について「大雑把なイメージ」と「 $\varepsilon - \delta$ を用いた厳密な定義」を説明します。

関数の連続性のイメージ

いきなり厳密な定義を書くと難しいので，まずはイメージから。

関数が連続であるとは，直感的には「関数がつながっている，ちぎれていない」という意味です。

例

$y=x, y=\sin x, y=x^2$ は連続関数です。
$y=|x|$ は原点で折れ曲がっているので微分不可能ですが，連続関数です。
$y=\dfrac{1}{x} (x > 0)$ は連続関数です。
$y=\tan x\:(-\dfrac{\pi}{2} < x <\dfrac{\pi}{2})$ も連続関数です。

なお，いたるところで不連続というヤバい関数もあります。→ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質

ここまで理解できれば高校範囲では十分です。以下は大学内容です。

連続と一様連続の定義

連続性をより厳密に定義します。そのためには，イプシロンデルタ論法を使います。ε-δ\varepsilon \text{-} \deltaε-δ の参考には以下をどうぞ：
イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法
はさみうちの原理の証明
連続の厳密な定義以下，f(x)f(x)f(x) は区間 III 上で定義された実数値関数とします。
連続性の定義
関数 f(x)f(x)f(x) が x=a (∈I)x=a\:(\in I)x=a(∈I) で連続とは，任意の正の実数
ε\varepsilonε
 に対して，ある
δ\deltaδ
 が存在して，任意の x∈Ix\in Ix∈I に対して ∣x−a∣<δ|x-a| <\delta∣x−a∣<δ
 なら
∣f(x)−f(a)∣<ε|f(x)-f(a)| <\varepsilon∣f(x)−f(a)∣<ε が成立することを表す。
特に，すべての a∈Ia \in Ia∈I で f(x)f(x)f(x) が連続であるとき，関数 f(x)f(x)f(x) が区間 III で連続という。
x=ax=ax=a でつながっている。つまり「xxx が aaa に十分近づくと f(x)f(x)f(x) も f(a)f(a)f(a) に近づく」ことを表しています。
一様連続連続関数はつながっている関数なので扱いやすい嬉しい関数ですが，さらに
「一様連続関数」と呼ばれるもっと嬉しい関数のクラスがあります。連続であり，さらに
「十分」の程度が aaa に依らないでおさえられるとき，一様連続と言います。
一様連続の方が強い条件です。
一様連続性の定義
関数 f(x)f(x)f(x) が区間 III で一様連続とは，任意の正の実数
ε\varepsilonε
 に対して，ある
δ\deltaδ
 が存在して，
任意の実数
x1,x2∈Ix_1,x_2\in Ix1​,x2​∈I
 に対して，∣x1−x2∣<δ|x_1-x_2| <\delta∣x1​−x2​∣<δ
 なら
∣f(x1)−f(x2)∣<ε|f(x_1)-f(x_2)| <\varepsilon∣f(x1​)−f(x2​)∣<ε が成立することを表す。
非常に似ているので混乱しやすいです，じっくり考えてみてください。
「連続」の場合には場所 aaa に応じて δ\deltaδ を持ってくる
「一様連続」の場合には場所によらない共通の δ\deltaδ を持ってくる
こうしてみると，一様連続のほうが強い定義であることがわかります。
つまり「一様連続関数は連続関数」ですが「連続関数が一様連続関数とは限らない」です。

関数の一様連続性のイメージ

連続だが一様連続でない例

連続と一様連続の違いは「連続だが一様連続でない例」を見ると理解できます。

例として $y=x^2$ を考えます。これは連続です。一方， $x$ が十分大きい時に猛烈に変化する（「十分」の程度がどこまでも厳しくなる）ので一様連続ではありません。

（場所によらない共通の $\delta$ を用意できないです）

これをきちんと証明してみましょう。

一様連続でないことの証明の考え方

$f(x) = x^2$ とする。

一様連続とは「 $\varepsilon > 0$ を任意にとるとき，ある $\delta$ があって $|x_1 - x_2| < \delta \Longrightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$ であること」であった。

これの否定は「ある $\varepsilon > 0$ に対して，どのように $\delta$ をとっても $|x_1 - x_2| < \delta \Longrightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$ とできない」こととなる。

$x_1 = a , x_2 = a+\delta$ とおいて考えてみると $|{x_1}^2 - {x_2}^2| = 2a\delta + \delta^2$ である。

今， $\varepsilon$ と $\delta$ を1つ固定しておくと $a > \dfrac{\varepsilon - \delta^2}{2\delta}$ のとき， $2a\delta + \delta^2 > \varepsilon$ となる。

上記の考え方をもとに，きちんと証明を書くと以下のようになります。

一様連続でないことの証明

$f(x) = x^2$ とする。

$\varepsilon$ を1つ決めたとき， $\delta$ をどのようにとっても， $x_1 > \dfrac{\varepsilon - \delta^2}{2\delta}$ ， $x_2 = x_1 + \delta$ ととれば， $|x_1 - x_2| < \delta$ であるが， $|f(x_1) - f(x_2)| > \varepsilon$ であるため， $f$ は一様連続ではない。