イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法

更新日時 2022/01/11

イプシロンデルタ論法,イプシロンエヌ論法について解説します。関数や数列の極限を厳密に扱うために必要な道具です。大学数学最初の難関の1つです。

目次
  • 関数の極限の厳密な定義

  • イプシロンデルタ論法の使用例

  • 他のいろいろな極限の定義

  • 使用例

関数の極限の厳密な定義

まずは,イプシロンデルタ論法による関数の極限 limxaf(x)\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) の定義です。

関数の極限の定義

任意の正の実数 ε\varepsilon に対して,ある正の実数 δ\delta が存在して,0<xa<δ0<|x-a|<\delta なら f(x)A<ε|f(x)-A|< \varepsilon

が成立するとき,limxaf(x)=A\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A とする。

赤字の主張は意味がわかりにくいですね。これを理解するために,高校数学における極限の大雑把な意味を思い出してみます。

極限の大雑把な意味

xx が限りなく aa に近づくとき,f(x)f(x) は限りなく AA に近づくとき,limxaf(x)=A\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A とする。

紫字の主張はわかりやすいです。これを1→2→3の順で徐々に言い換えてみましょう。

  1. xa|x-a| が限りなく 00 に近づくとき,f(x)A|f(x)-A| が限りなく 00 に近づく

  2. どんなに小さな正の ε\varepsilon に対しても xa|x-a| を十分 00 に近づければ f(x)A<ε|f(x)-A|<\varepsilon となる

  3. 任意の正の実数 ε\varepsilon に対して,ある正の実数 δ\delta が存在して,0<xa<δ0<|x-a|<\delta なら f(x)A<ε|f(x)-A|< \varepsilon

イプシロンデルタ論法のイメージ

イプシロンデルタ論法の使用例

簡単な例題

limx0100x=0\displaystyle\lim_{x\to 0} 100x=0 を確認せよ。

xx が限りなく 00 に近づくとき,100x100x も限りなく 00 に近づくことは明らかですが,イプシロンデルタ論法による極限の定義をきちんと確認してみましょう。

解答

任意の正の実数 ε\varepsilon に対して,ある正の実数 δ\delta が存在して,
0<x<δ0<|x|<\delta なら 100x<ε|100x|< \varepsilon (*)

を確認するのが目標。

  • もし ε=1\varepsilon=1 と言われたら,δ=0.01\delta=0.01 とすれば(*)を満たす。
  • もし ε=0.0314\varepsilon=0.0314 と言われたら,δ=0.000314\delta=0.000314 とすれば(*)を満たす。
  • より一般に,与えられた ε\varepsilon に対して δ=0.01ε\delta=0.01\varepsilon とすれば(*)を満たすのでOK。

他のいろいろな極限の定義

limxaf(x)=A\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=A の定義さえきちんと理解できれば,他の定義もすんなり受け入れられる(自分で構成できる)と思います。

関数の極限

limxaf(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty (正の無限大に発散)の意味は,

任意の実数 RR に対して,ある δ>0\delta> 0 が存在して,0<xa<δ0<|x-a|<\delta なら f(x)>Rf(x) > R

limxaf(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=-\infty (負の無限大に発散)の意味は,

任意の実数 RR に対して,ある δ>0\delta> 0 が存在して,0<xa<δ0<|x-a|<\delta なら f(x)<Rf(x) < R

limxf(x)=A\displaystyle\lim_{x\to \infty}f(x)=A (無限大に行くときの極限)の意味は,

任意の ε>0\varepsilon >0 に対して,ある R>0R> 0 が存在して,x>Rx>R なら f(x)A<ε|f(x)-A|< \varepsilon

数列の極限

limnan=A\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=A の意味は,

任意の ε>0\varepsilon > 0 に対して,ある NN が存在して,n>Nn > N なら anA<ε|a_n-A| <\varepsilon

(イプシロンエヌ論法)

limxf(x)=A\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=Alimnan=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\inftylimnan=\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty などについても考えてみてください。

使用例

イプシロンデルタ論法に慣れるためにはいろいろな証明を読んだり,自分で問題を解くのが一番です。ここでは3つ例を紹介します。

イプシロンアール論法とはあまり言わないです。