攻略！ ε-N/ε-δ 論法～その1～

正の実数 $\varepsilon$ に対して，$\displaystyle N=\left[\frac{1}{\log_a (\varepsilon +1)} \right]+1$ とする。

$n > N$ のとき， $$\dfrac{1}{n}<\frac{1}{N} = \dfrac{1}{\left[\frac{1}{\log_a (\varepsilon +1)} \right]+1} < \frac{1}{\frac{1}{\log_a (\varepsilon +1)}} = \log_a (\varepsilon +1)$$ である。

したがって $\displaystyle a_n = a^{\frac{1}{n}} < a^{\log_a (\varepsilon +1)} = \varepsilon +1$ であるため，$|a_n-1| < \varepsilon$ が成立する。

以上より，任意の正の数 $\varepsilon$ に対し，$n>N$ ならば $|a_n-1| < \varepsilon$ となる $N$ がとれる。よって題意は示された。

$\varepsilon > 0$ を任意にとる。

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ なので，任意の $\varepsilon > 0$ に対してある $N_0$ が存在して，$n > N_0$ なら $|a_n-\alpha| < \dfrac{1}{2} \varepsilon$ とできる。

よって，$N_0$ より大きい $n$ に対して $$\begin{aligned} |c_n-\alpha| &=\left| \sum_{k=1}^n\dfrac{a_k-\alpha}{n} \right|\\ &\leq \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n | a_k - \alpha |\\ &= \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{N_0} | a_k - \alpha | + \dfrac{1}{n} \sum_{k=N_0 + 1}^n |a_k-\alpha|\\ &< \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{N_0} |a_k-\alpha| + \dfrac{(n-N_0) \varepsilon}{2n}\\ &< \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{N_0} | a_k - \alpha | + \dfrac{1}{2} \varepsilon \end{aligned}$$

ここで $$N_1 = \dfrac{2}{\varepsilon} \sum_{k=1}^{N_0} | a_k - \alpha |$$ とおくと，$n > N_1$ のとき $$\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^N |a_k-\alpha| < \dfrac{1}{2} \varepsilon$$ となる。

こうして $N = \max (N_0 , N_1)$ とおくと $n > N$ のとき $|c_n - \alpha | < \varepsilon$ である。

以上より，任意の正の数 $\varepsilon$ に対し，$n>N$ ならば $|c_n - \alpha | < \varepsilon$ となる $N$ がとれる。よって題意は示された。

正の数 $\varepsilon$ を任意にとる。

自然数 $N_1$ で $n>N_1$ のとき $$|a_n-\alpha| < \dfrac{\varepsilon}{2}$$ となるものが取れる。 また自然数 $N_2$ で $m>N_1$ のとき $$|b_m-\beta| < \dfrac{\varepsilon}{2}$$ となるものが取れる。

よって $n > \max (N_1, N_2)$ であれば $$\begin{aligned} &|(a_n + b_n) - (\alpha + \beta)|\\ &\leqq |a_n - \alpha| + |b_n - \beta|\\ &< \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2}\\ &= \varepsilon \end{aligned}$$ となる。よって $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_N + b_n) = \alpha + \beta$ である。

正の数 $\varepsilon$ を任意にとる。

$\displaystyle M_1 =\max (|\alpha|,1)$，$\displaystyle M_2=\max (|\beta|,1)$ とおく。

自然数 $N_1$ で $m>N_1$ のとき $$|a_m-\alpha|<\mathrm{min}\left(\dfrac{\varepsilon}{3M_1},\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}}\right)$$ となるものが取れる。 また自然数 $N_2$ で $m>N_1$ のとき $$|b_m-\beta|<\mathrm{min}\left(\dfrac{\varepsilon}{3M_2},\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}}\right)$$ となるものが取れる。 ここで $$\begin{aligned} &a_n b_n - \alpha \beta\\ &= a_n b_n - a_n \beta - b_n \alpha + \alpha \beta\\ &\quad + a_n \beta - \alpha \beta + b_n \alpha - \alpha \beta\\ &= (a_n - \alpha)(b_n - \beta)\\ &\quad + \beta(a_n - \alpha) + \alpha (b_n - \beta) \end{aligned}$$ である。

よって $n > \max (N_1,N_2)$ であれば $$\begin{aligned} &|a_n b_n - \alpha \beta|\\ &= |(a_n - \alpha)(b_n - \beta)|\\ &\quad + |\beta| |a_n - \alpha| + |\alpha| |b_n - \beta| \\ &< \sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}} \cdot \sqrt{\dfrac{\varepsilon}{3}} + \dfrac{|\beta|}{M_2} \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{|\alpha|}{M_1} \dfrac{\varepsilon}{3}\\ &< \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3} + \dfrac{\varepsilon}{3}\\ &= \varepsilon \end{aligned}$$ である。

よって示された。

正の数 $\varepsilon$ を任意にとる。

$$\begin{aligned} &|c_n - \alpha\beta|\\ &= \left| \dfrac{a_1 b_n + \cdots + a_n b_1}{n} - \alpha \beta \right|\\ &= \left| \dfrac{(a_1 b_n - \alpha \beta) + \cdots + (a_n b_1 - \alpha \beta)}{n} \right|\\ &\leqq \dfrac{|a_1 b_n - \alpha \beta| + \cdots + |a_n b_1 - \alpha \beta|}{n} \end{aligned}$$

$\displaystyle M_1 =\max (|\alpha|,1)$，$\displaystyle M_2=\max (|\beta|,1)$ とおく。

自然数 $N_1$ で $m>N_1$ のとき $$|a_m-\alpha|<\mathrm{min}\left(\dfrac{\varepsilon}{6M_1},\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{6}}\right)$$ となるものが取れる。 また自然数 $N_2$ で $m>N_1$ のとき $$|b_m-\beta|<\mathrm{min}\left(\dfrac{\varepsilon}{6M_2},\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{6}}\right)$$ となるものが取れる。

$N = \max (N_1, N_2)$ とおく。$n > 2 N (\geqq N_1 + N_2)$ と取る。

$N < l < n-N$ とする。

※ $n > N_1 + N_2$ より $n - N > \max (N_1 , N_2) = N$ となり，不等式を満たす $l$ を取ることができる。

このとき，$l > N_1$，$n-l > N_2$ であるため， $$|a_l-\alpha|<\mathrm{min}\left(\frac{\varepsilon}{6M_1},\sqrt{\frac{\varepsilon}{6}}\right)$$ 及び $$|b_{n-l}-\beta|<\mathrm{min}\left(\frac{\varepsilon}{6M_2},\sqrt{\frac{\varepsilon}{6}}\right)$$ である。

ゆえに $$\begin{aligned} &|a_l b_{n-l} - \alpha \beta|\\ &< |(a_l - \alpha)(b_{n-l}-\beta)|\\ &\quad \quad +|\beta||a_l - \alpha|+|\alpha||b_{n-l}-\beta|\\ &< \frac{\varepsilon}{6}+M_1 \frac{\varepsilon}{6M_1}+M_2 \frac{\varepsilon}{6M_2}\\ &< \frac{\varepsilon}{2} \end{aligned}$$ である。

一方で $1 \leq l \leq N$ とすると，$n-l \geq n-N > N = N_2$ より $$\begin{aligned} &|a_l b_{n-l} - \alpha \beta|\\ &< |a_l (b_{n-l}-\beta)| + |\beta||a_l - \alpha|\\ &< |a_l| \mathrm{min}\left(\frac{\varepsilon}{6M_2},\sqrt{\frac{\varepsilon}{6}}\right) + |\beta||a_l - \alpha|\\ &< \infty \end{aligned}$$ である。ゆえに $$M_3 = \max (a_l b_{n-l} - \alpha \beta) < \infty$$ である。同じくして $$M_4 = \max (a_{n-l} b_{l} - \alpha \beta) < \infty$$

よって， $$\dfrac{|a_1 b_n - \alpha \beta | + \cdots + |a_{N} n_{n-N} - \alpha \beta|}{n} < \dfrac{N}{n} M_3\\ \dfrac{|a_{N} b_{n-N} - \alpha \beta | + \cdots + |a_{n} n_{1} - \alpha \beta|}{n} < \dfrac{N}{n} M_4$$

$N' = \max \left( \dfrac{M_3 \varepsilon}{4N} , \dfrac{M_4 \varepsilon}{4N} \right)$ とおくと，$n > N'$ のとき，上の2式は $\dfrac{\varepsilon}{4}$ より小さくなる。

こうして $n > \max (N,N')$ とすると $$\begin{aligned} &|c_n - \alpha \beta|\\ &\leqq \dfrac{|a_1 b_n - \alpha \beta| + \cdots + |a_n b_1 - \alpha \beta|}{n}\\ &= \dfrac{|a_1 b_n - \alpha \beta| + \cdots + |a_{N} b_{n-N} - \alpha \beta|}{n}\\ &\quad +\dfrac{|a_{N+1} b_{n-N-1} - \alpha \beta| + \cdots + |a_{n-N-1} b_{N+1} - \alpha \beta|}{n}\\ &\quad +\dfrac{|a_{n-N} b_N - \alpha \beta| + \cdots + |a_n b_1 - \alpha \beta|}{n}\\ &< \dfrac{\varepsilon}{4} + \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{4}\\ &= \varepsilon \end{aligned}$$ となる。

以上より示された。