難問・良問

サイコロを3回振り，出た目を順に $a,b,c$ とする。$S = \sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b} \cos \dfrac{\pi}{c}$ とおく。

(1) $2 \cdot \dfrac{\pi}{5} = \pi - 3 \cdot \dfrac{\pi}{5}$ を用いることで $\sin \dfrac{\pi}{5}$ を求めよ。

(2) $S=0$ となる確率を求めよ。

(3) $S$ が整数となる確率を求めよ。

(4) $S$ が有理数となる確率を求めよ。

「が」「く」「す」と書かれたカードが1枚ずつ、「こ」と書かれたカードが2枚、「う」と書かれたカードが3枚ある。これら8枚のカードを無作為に並べ、文字列を作ることを考える。

以下の問いに答えよ。

(1) 文字列が「こうこうすうがく」となる確率を求めよ。

(2) 文字列に「がく」が含まれる確率を求めよ。

(3) 文字列に「すうがく」が含まれる確率を求めよ。

(4) 文字列に「すうがく」が含まれるとき、文字列が「こうこうすうがく」である確率を求めよ。

1と2を合わせて $n$ 個並べて，10進数で $n$ 桁の整数を作ることを考える。

例えば $n=3$ のときは，111・112・121・122・211・212・221・222の8通りが考えられる。

(1) $n=4$ のとき，何通りの整数がありうるか求めよ。

(2) 偶数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

(3) 3の倍数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

(4) $n \geqq 2$ のとき，最小の素因数が7以上である整数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

ただし整数 $N$ の素因数とは，$N$ を割り切る素数のことを意味する。

$\mathrm{O}$ を原点とする $xy$ 平面を考える。直線 $x = 1$ 上に点 $\mathrm{A}$ を取る。直線 $\mathrm{OA}$ の $x \leqq 0$ の部分に $\mathrm{AB} = 2$ を満たす点 $\mathrm{B}$ が存在するとき, 以下の問いに答えよ。

(1) 直線 $\mathrm{OA}$ と $x$ 軸がなす角を, $x$ 軸の正方向から反時計回りを正として測って $t \, \left( - \dfrac{\pi}{2} \leqq t \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)$ とする。$\mathrm{OB} = r \, (r \geqq 0)$ とするとき, $r$ を $t$ を用いて表せ。

(2) 点 $\mathrm{A}$ が直線 $x = 1$ 上をくまなく動くとき, 点 $\mathrm{B}$ の軌跡を $C$ とする。曲線 $C$ の $y$ 座標の最大値を求めよ。

(3) 曲線 $C$ によって囲まれる領域の面積を求めよ。

正の整数 $n$ に対し，$n$ 以下で $n$ と互いに素であるような正の整数の総和を $S(n)$ とする。

例えば，$S(1)=1，S(5)=1+2+3+4=10，S(6)=1+5=6$ である。

以下の問いに答えよ。

(1) $S(1024)$ を求めよ。

(2) $m=2021^{2021}$ とするとき，$\dfrac{S(m)}{m^2}$ の値を求めよ。

(3) $S(n)$ が偶数となるような $100$ 以下の正整数 $n$ の総和を求めよ。

二次方程式 $x^2-x-1=0$ の異なる2つの実数解をそれぞれ $\alpha, \beta$ とする。

(1) $\alpha+\beta$ の値を求めよ。

(2) $\alpha^{10}+\beta^{10}$ の値を求めよ。

(3) $\alpha+\beta, \alpha^2+\beta^2, \alpha^3+\beta^3, \cdots , \alpha^{2022}+\beta^{2022}$ の2022個の実数のうち，整数であって3の倍数であるもの個数を求めよ。

$a,b$ は正の実数とする。$xy$ 平面上に曲線 $C_1: y=(x-a)^2$，$C_2: y = b-x^2$ がある。点 $P$ を $(a,0)$ とする。

以下の問いに答えよ。

(1) $C_1$ と $C_2$ が異なる2つの交点を持つ条件を $a,b$ の不等式により表せ。

(2) 以下 $a,b$ は(1)で求めた条件を満たすものとする。$P_1,P_2$ を $C_1$ と $C_2$　の交点とする。ただし $P_1$ を $x$ 座標の小さいほうとする。今，$b$ を固定したとき $\angle P_1 P P_2 = 90^{\circ}$ となるような $a$ が存在する。$b$ の値の範囲を求めよ。

(3) 今，$\angle P_1 P P_2 = 90^{\circ}$ を満たしているとする。$P,P_1,P_2$ を通る円を $C$ とする。$C$ と $y$ 軸の交点の座標を $b$ を用いて求めよ。

(4) 円 $C$ の中心を $Q$ とおく。$\triangle OP_2Q$ が正三角形であるとする。このとき $b$ の値を求めよ。

複素数平面において，

$$|z-\sqrt{3}|+|z+\sqrt{3}|=4$$

を満たす複素数 $z$ 全体を $C$ とする。

(1) $\alpha$ が $C$ 上を動くとき，$\alpha$ の軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ。

(2) $\alpha$ が $C$ 上を動くとき，$\alpha |\alpha|$ の軌跡によって囲まれる部分の面積を求めよ。

座標平面上の $2$ つの放物線

$$\begin{aligned} A&:\ y = x^2 \\ B&:\ y = -x^2 + px + q \end{aligned}$$

が点 $(-1,1)$ で接している。ここで，$p$ と $q$ は実数である。さらに，$t$ を正の実数とし，放物線 $B$ を $x$ 軸の正の向きに $2t$，$y$ 軸の正の向きに $t$ だけ平行移動して得られる放物線を $C$ とする。

$(1)$ $p$ と $q$ の値を求めよ。

$(2)$ 放物線 $A$ と $C$ が囲む領域の面積を $S(t)$ とする。ただし， $A$ と $C$ が領域を囲まないときは $S(t) = 0$ と定める。$S(t)$ を求めよ。

$(3)$ $t>0$ における $S(t)$ の最大値を求めよ。

$k$ を正の実数とし，2次方程式 $x^2 + x - k = 0$ の2つの実数解を $\alpha , \beta$ とする。$k$ が $k > 2$ の範囲を動くとき，$\dfrac{\alpha^3}{1-\beta} + \dfrac{\beta^3}{1-\alpha}$ の最小値を求めよ。

1. 正の整数 $k$ に対し， $$A_k = \int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} | \sin (x^2) | dx$$ とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_k \leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}$$

2. 正の整数 $n$ に対し， $$B_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}} \int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{2n\pi}} | \sin (x^2) | dx$$ とおく。$\displaystyle \lim_{n \to \infty} B_n$ を求めよ。

次の定積分を求めよ。

$$\int_0^1 \left( x^2 + \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \left( 1 + \dfrac{x}{(1+x^2) \sqrt{1+x^2}} \right) dx$$

次の定積分を求めよ。

$$\int_0^1 \left( x^2 + \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \right) \left( 1 + \dfrac{x}{(1+x^2) \sqrt{1+x^2}} \right) dx$$

座標空間内の点 $\mathrm{A} (0,-1,1)$ をとる。$xy$ 平面上の点 $\mathrm{P}$ が次の条件 (i)，(ii)，(iii) をすべて満たすとする。

$$\begin{array}{cl} (\mathrm{i}) & \mathrm{P} \ \text{は原点} \ \mathrm{O} \ \text{と異なる。}\\ (\mathrm{ii}) & \angle \mathrm{AOP} \geqq \dfrac{2}{3} \pi\\ (\mathrm{iii}) & \angle \mathrm{OAP} \leqq \dfrac{\pi}{6}\\ \end{array}$$

$\mathrm{P}$ がとりうる範囲を $xy$ 平面上に図示せよ。

2つの奇数 $a,b$ に対して，$m = 11a+b$，$n = 3a +b$ とおく。次の1，2を証明せよ。

1. $m$ と $n$ の最大公約数は，$a$ と $b$ の最大公約数を $d$ として，$2d$，$4d$，$8d$ のいずれかである。
2. $m$，$n$ がともに平方数であることはない。

座標平面上の点 $\mathrm{A} (0,0)$，$\mathrm{B} (0,1)$，$\mathrm{C} (1,1)$，$\mathrm{D} (1,0)$ を考える。実数 $0 < t < 1$ に対して，線分 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$ を $t : (1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{P}_t$，$\mathrm{Q}_t$，$\mathrm{R}_t$ とし，線分 $\mathrm{P}_t \mathrm{Q}_t$，$\mathrm{Q}_t \mathrm{R}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点をそれぞれ $\mathrm{S}_t$，$\mathrm{T}_t$ とする。さらに線分 $\mathrm{S}_t \mathrm{T}_t$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{U}_t$ とする。

1. 点 $\mathrm{U}_t$ の座標を求めよ。
2. $t$ が $0 \leqq t\leqq 1$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線と，線分 $\mathrm{AD}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。
3. $a$ を $0 < a < 1$ を満たす実数とする。$t$ が $0 \leqq t \leqq a$ の範囲を動くときに点 $\mathrm{U}_t$ が描く曲線の長さを，$a$ の多項式の形で求めよ。

ルートの入った方程式は両辺二乗してルートを外すというのが鉄則です。しかし，ルートが3つ以上ある場合は一般に両辺を二乗しても複雑になるだけです。そこで，適切に移項してから両辺を二乗します。

$x+y+z=1$ を満たす非負の実数 $x,y,z$ に対して以下の不等式を証明せよ：

$0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}$

単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。