難問・良問

更新 2022/06/19

重要知識と検算力習得のための問題集

『高校数学の美しい物語』の各ページと対応した問題集を作っています。
→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～

入試数学コンテストで出題された問題

高校数学の美しい物語運営チームによる入試数学コンテストで出題された問題と解答・解説を分野別に整理しました。
易しめの問題から超難問まで，幅広い難易度の問題が揃っています。
微分・積分・極限：問題と解説一覧
確率・場合の数：問題と解説一覧
三角関数：問題と解説一覧
整数：問題と解説一覧
図形と方程式：問題と解説一覧
複素数：問題と解説一覧
数列：問題と解説一覧
式の計算・二次関数：問題と解説一覧

問題集その１

問題1−1

$100!$ の末尾の $0$ の個数を求めよ。

問題1−2

$x+\dfrac{1}{x^2}$ の $x>0$ の範囲での最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

問題1−3

不定積分 $\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx$ を求めよ。

問題1−4

三角形 $ABC$ 内に点 $P$ があり， $2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ が成立するとき，三角形 $PAB$ の面積は三角形 $PBC$ の面積の何倍になるか求めよ。

問題1−5

四角形 $ABCD$ において， $AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$ が成立する。四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。

解答は → 実践問題集その１

問題集その２

問題2−1

三角形 $ABC$ において， $\tan A, \tan B, \tan C$ がいずれも整数となるとき $\tan C$ を求めよ。ただし， $\tan A\leq \tan B\leq\tan C$ とする。

問題2−2

任意の自然数 $n$ に対して，不等式

$(1+\frac{1}{n})^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

が成立することを証明せよ。

問題2−3

三角形 $ABC$ において， $AB=5, BC=6, CA=7$ のとき三角形 $ABC$ の内心と外心の距離を求めよ。

解答は → 実践問題集その２

数学オリンピックの練習問題（幾何不等式）

1991年国際数学オリンピックスウェーデン大会第一問です。

幾何不等式の練習問題

問題

三角形 $ABC$ の内心を $I$ ， $AI$ と $BC$ の交点を $P$ ， $BI$ と $CA$ の交点を $Q$ ， $CI$ と $AB$ の交点を $R$ とおくとき，

$\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{AP\cdot BQ\cdot CR}\leq\dfrac{8}{27}$ を証明せよ。

→ 数学オリンピックの練習問題（幾何不等式）

不定方程式の難問

2014年日本数学オリンピック本選第二問です：

問題

$2^a+3^b+1=6^c$ を満たす自然数 $(a,b,c)$ の組を全て求めよ

→ 不定方程式の難問

2009年APMO第２問の解説

代数の面白い問題です：

問題

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ を以下の5つの方程式を満たす実数とする。

$\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}=\dfrac{1}{k^2}\: (k=1,2\cdots,5)$

このとき， $M=\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41}$ の値を求めよ。

→ 2009年APMO第２問の解説

tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

$\tan 1^{\circ}$ は有理数か？

超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

→ tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

1984年IMO第１問の解説

1984年国際数学オリンピックチェコスロバキア大会の第1問です。

問題

$x+y+z=1$ を満たす非負の実数 $x,y,z$ に対して以下の不等式を証明せよ：

$0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}$

不等式証明の重要なテクニックが凝縮された良問です。

→ 1984年IMO第１問の解説

円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明

2003年の東大の入試問題：

円周率が $3.05$ より大きいことを証明せよ。

非常に有名な東大の入試問題です。この問題に対する五通りの解法を解説します。

→ 円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明

国際数学オリンピックの超難問３選

国際数学オリンピック（IMO）の過去問の中でも完答者が極めて少ない超難問を3問紹介します。
マスターデーモン（整数問題）
20世紀最難問（幾何不等式）
過去問の中で最難問（組合せ）
→ 国際数学オリンピックの超難問３選

2015年JJMO予選第7問の３通りの解法

問題

次の等式を満たす正の実数 $x$ を求めよ。

$x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2$

JJMO（日本ジュニア数学オリンピック）予選の中難易度の問題です。この問題の解説を通じてJJMO予選攻略のコツを見ていきます。

→ 2015年JJMO予選第7問の３通りの解法

複素数平面の問題（2016年東大理系第4問）

2016年東大理系第4問を解説します。

→ 複素数平面の問題（2016年東大理系第4問）

論理クイズ（帽子の色当て問題）

数学のクイズを紹介します。問題文は少し長いですがかなり面白いです。

→ 論理クイズ（帽子の色当て問題）

東大文系数学2017入試過去問解答解説

この記事では，東京大学の2017年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 東大文系数学2017入試過去問解答解説

東大理系数学2017入試過去問解答解説

この記事では，東京大学の2017年度入学試験の理系数学について解説します。

→ 東大理系数学2017入試過去問解答解説

東大文系数学2018入試過去問解答解説

この記事では，東京大学の2018年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 東大文系数学2018入試過去問解答解説

東大理系数学2018入試過去問解答解説

この記事では，東京大学の2018年度入学試験の理系数学について解説します。

→ 東大理系数学2018入試過去問解答解説

東大文系数学2019入試過去問解答解説

この記事では，東京大学の2019年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 東大文系数学2019入試過去問解答解説

東大文系数学2020入試過去問解答解説

この記事では，東京大学の2020年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 東大文系数学2020入試過去問解答解説

【解答・解説】東大文系数学2021

この記事では，東京大学の2021年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 【解答・解説】東大文系数学2021

【解答・解説】東大理系数学2021

この記事は，本日2021/2/25に実施された「2021年度東京大学入学試験　数学（理系）」の速報記事です。

→ 【解答・解説】東大理系数学2021

京大文系数学2020入試過去問解答解説

この記事では，京都大学の2020年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 京大文系数学2020入試過去問解答解説

京大理系数学2020入試過去問解答解説

この記事では，京都大学の2020年度入学試験の理系数学について解説します。

→ 京大理系数学2020入試過去問解答解説

京大文系数学2021入試過去問解答解説

この記事では，京都大学の2021年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 京大文系数学2021入試過去問解答解説

京大理系数学2021入試過去問解答解説

この記事では，京都大学の2021年度入学試験の理系数学について解説します。

→ 京大理系数学2021入試過去問解答解説

式の計算・二次関数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事では，入試数学コンテストで出題された問題のうち，式の計算・二次関数分野のものをまとめています。

→ 式の計算・二次関数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

三角関数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事では，入試数学コンテストで出題された問題のうち，三角関数分野のものをまとめています。

→ 三角関数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

確率・場合の数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事では，入試数学コンテストで出題された問題のうち，確率・場合の数分野のものをまとめています。

→ 確率・場合の数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

整数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事では，入試数学コンテストで出題された問題のうち，整数分野のものをまとめています。

→ 整数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

図形と方程式・ベクトル分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事では，入試数学コンテストで出題された問題のうち，図形と方程式・ベクトル分野のものをまとめています。

→ 図形と方程式・ベクトル分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

微分・積分・極限分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事では，入試数学コンテストで出題された問題のうち，微積分・極限分野のものをまとめています。

→ 微分・積分・極限分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

数列分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事では，入試数学コンテストで出題された問題のうち，数列分野のものをまとめています。

→ 数列分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

複素数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事では，入試数学コンテストで出題された問題のうち，複素数分野のものをまとめています。

→ 複素数分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！