難問・良問

更新日時 2022/03/03

入試数学コンテストで出題された問題高校数学の美しい物語運営チームによる入試数学コンテストで出題された問題と解答・解説を分野別に整理しました。
易しめの問題から超難問まで，幅広い難易度の問題が揃っています。
微分・積分・極限：問題と解説一覧
確率・場合の数：問題と解説一覧
三角関数：問題と解説一覧
整数：問題と解説一覧
図形と方程式：問題と解説一覧
複素数：問題と解説一覧
数列：問題と解説一覧
式の計算・二次関数：問題と解説一覧

問題集その１

問題1−1

$100!$ の末尾の $0$ の個数を求めよ。

問題1−2

$x+\dfrac{1}{x^2}$ の $x>0$ の範囲での最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

問題1−3

不定積分 $\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx$ を求めよ。

問題1−4

三角形 $ABC$ 内に点 $P$ があり， $2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ が成立するとき，三角形 $PAB$ の面積は三角形 $PBC$ の面積の何倍になるか求めよ。

問題1−5

四角形 $ABCD$ において， $AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$ が成立する。四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。

解答は → 実践問題集その１

問題集その２

問題2−1

三角形 $ABC$ において， $\tan A, \tan B, \tan C$ がいずれも整数となるとき $\tan C$ を求めよ。ただし， $\tan A\leq \tan B\leq\tan C$ とする。

問題2−2

任意の自然数 $n$ に対して，不等式

$(1+\frac{1}{n})^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

が成立することを証明せよ。

問題2−3

三角形 $ABC$ において， $AB=5, BC=6, CA=7$ のとき三角形 $ABC$ の内心と外心の距離を求めよ。

解答は → 実践問題集その２

数学オリンピックの練習問題（幾何不等式）

1991年国際数学オリンピックスウェーデン大会第一問です。

幾何不等式の練習問題

問題

三角形 $ABC$ の内心を $I$ ， $AI$ と $BC$ の交点を $P$ ， $BI$ と $CA$ の交点を $Q$ ， $CI$ と $AB$ の交点を $R$ とおくとき，

$\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{AP\cdot BQ\cdot CR}\leq\dfrac{8}{27}$ を証明せよ。

→ 数学オリンピックの練習問題（幾何不等式）

不定方程式の難問

2014年日本数学オリンピック本選第二問です：

問題

$2^a+3^b+1=6^c$ を満たす自然数 $(a,b,c)$ の組を全て求めよ

→ 不定方程式の難問

2009年APMO第２問の解説

代数の面白い問題です：

問題

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ を以下の5つの方程式を満たす実数とする。

$\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}=\dfrac{1}{k^2}\: (k=1,2\cdots,5)$

このとき， $M=\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41}$ の値を求めよ。

→ 2009年APMO第２問の解説

tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

$\tan 1^{\circ}$ は有理数か？

超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

→ tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

1984年IMO第１問の解説

1984年国際数学オリンピックチェコスロバキア大会の第1問です。

問題

$x+y+z=1$ を満たす非負の実数 $x,y,z$ に対して以下の不等式を証明せよ：

$0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}$

不等式証明の重要なテクニックが凝縮された良問です。

→ 1984年IMO第１問の解説

円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明

2003年の東大の入試問題：

円周率が $3.05$ より大きいことを証明せよ。

非常に有名な東大の入試問題です。この問題に対する五通りの解法を解説します。

→ 円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明

国際数学オリンピックの超難問３選国際数学オリンピック（IMO）の過去問の中でも完答者が極めて少ない超難問を3問紹介します。
マスターデーモン（整数問題）
20世紀最難問（幾何不等式）
過去問の中で最難問（組合せ）
→ 国際数学オリンピックの超難問３選

2015年JJMO予選第7問の３通りの解法

問題

次の等式を満たす正の実数 $x$ を求めよ。

$x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2$

JJMO（日本ジュニア数学オリンピック）予選の中難易度の問題です。この問題の解説を通じてJJMO予選攻略のコツを見ていきます。

→ 2015年JJMO予選第7問の３通りの解法

複素数平面の問題（2016年東大理系第4問）2016年東大理系第4問を解説します。
→ 複素数平面の問題（2016年東大理系第4問）

論理クイズ（帽子の色当て問題）数学のクイズを紹介します。問題文は少し長いですがかなり面白いです。
→ 論理クイズ（帽子の色当て問題）

東大文系数学2017入試過去問解答解説この記事では，東京大学の2017年度入学試験の文系数学について解説します。
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東大理系数学2017入試過去問解答解説この記事では，東京大学の2017年度入学試験の理系数学について解説します。
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東大文系数学2018入試過去問解答解説この記事では，東京大学の2018年度入学試験の文系数学について解説します。
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【解答・解説】東大文系数学2021この記事では，東京大学の2021年度入学試験の文系数学について解説します。
→ 【解答・解説】東大文系数学2021

【解答・解説】東大理系数学2021この記事は，本日2021/2/25に実施された「2021年度東京大学入学試験　数学（理系）」の速報記事です。
→ 【解答・解説】東大理系数学2021

京大文系数学2020入試過去問解答解説この記事では，京都大学の2020年度入学試験の文系数学について解説します。
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この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！