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難問・良問

    更新日時 2021/03/23

    問題集その１

    問題1−1： 100!100! の末尾の 00 の個数を求めよ。

    問題1−2： x+1x2x+\dfrac{1}{x^2} の x>0x>0 の範囲での最小値とそのときの xx の値を求めよ。

    問題1−3：不定積分 ∫e−2xsin⁡3xdx\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx を求めよ。

    問題1−4：三角形 ABCABC 内に点 PP があり，2PAundefined+3PBundefined+4PCundefined=0undefined2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} が成立するとき，三角形 PABPAB の面積は三角形 PBCPBC の面積の何倍になるか求めよ。

    問題1−5：四角形 ABCDABCD において，AB=5,BC=6,CD=7,DA=8,∠ABC+∠ADC=180∘AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ} が成立する。四角形 ABCDABCD の面積 SS を求めよ。

    → 実践問題集その１〜高校数学裏技公式集〜

    問題集その２

    問題2−1

    三角形 ABCABC において，tan⁡A,tan⁡B,tan⁡C\tan A, \tan B, \tan C がいずれも整数となるとき tan⁡C\tan C を求めよ。ただし，tan⁡A≤tan⁡B≤tan⁡C\tan A\leq \tan B\leq\tan C とする。

    問題2−2

    任意の自然数 nn に対して，不等式

    (1+1n)n≤(1+1n+1)n+1(1+\frac{1}{n})^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}

    が成立することを証明せよ。

    問題2−3

    三角形 ABCABC において，AB=5,BC=6,CA=7AB=5, BC=6, CA=7 のとき三角形 ABCABC の内心と外心の距離を求めよ。

    → 実践問題集その２〜高校数学裏技公式集〜

    数学オリンピックの練習問題（幾何不等式）

    1991年国際数学オリンピックスウェーデン大会第一問です。

    幾何不等式の練習問題

    問題

    三角形 ABCABC の内心を II ，AIAI と BCBC の交点を PP ，BIBI と CACA の交点を QQ ，CICI と ABAB の交点を RR とおくとき，

    14<AI⋅BI⋅CIAP⋅BQ⋅CR≤827\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{AP\cdot BQ\cdot CR}\leq\dfrac{8}{27} を証明せよ。

    → 数学オリンピックの練習問題（幾何不等式）

    不定方程式の難問

    2014年日本数学オリンピック本選第二問です：

    問題

    2a+3b+1=6c2^a+3^b+1=6^c を満たす自然数 (a,b,c)(a,b,c) の組を全て求めよ

    → 不定方程式の難問

    2009年APMO第２問の解説

    代数の面白い問題です：

    問題

    a1,a2,a3,a4,a5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 を以下の5つの方程式を満たす実数とする。

    ∑p=15apk2+p=1k2 (k=1,2⋯ ,5)\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}=\dfrac{1}{k^2}\: (k=1,2\cdots,5)

    このとき，M=a137+a238+a339+a440+a541M=\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41} の値を求めよ。

    → 2009年APMO第２問の解説

    tan1°が無理数であることの証明

    tan⁡1∘\tan 1^{\circ} は有理数か？

    超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

    → tan1°が無理数であることの証明

    1984年IMO第１問の解説

    1984年国際数学オリンピックチェコスロバキア大会の第1問です。

    問題

    x+y+z=1x+y+z=1 を満たす非負の実数 x,y,zx,y,z に対して以下の不等式を証明せよ：

    0≤xy+yz+zx−2xyz≤7270\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}

    不等式証明の重要なテクニックが凝縮された良問です。

    → 1984年IMO第１問の解説

    円周率が3.05より大きいことのいろんな証明

    2003年の東大の入試問題：

    円周率が 3.053.05 より大きいことを証明せよ。

    非常に有名な東大の入試問題です。この問題に対する五通りの解法を解説します。

    → 円周率が3.05より大きいことのいろんな証明

    国際数学オリンピックの超難問３選

    国際数学オリンピック（IMO）の過去問の中でも完答者が極めて少ない超難問を3問紹介します。

    • マスターデーモン（整数問題）
    • 20世紀最難問（幾何不等式）
    • 過去問の中で最難問（組合せ）

    → 国際数学オリンピックの超難問３選

    2015年JJMO予選第7問の３通りの解法

    問題

    次の等式を満たす正の実数 xx を求めよ。

    x+x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=2x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2

    JJMO（日本ジュニア数学オリンピック）予選の中難易度の問題です。この問題の解説を通じてJJMO予選攻略のコツを見ていきます。

    → 2015年JJMO予選第7問の３通りの解法

    この記事の編集者
    マスオ

    高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。

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