難問・良問

重要知識と検算力習得のための問題集

『高校数学の美しい物語』の各ページと対応した問題集を作っています。
→高校数学の問題集 ~最短で得点力を上げるために~

入試数学コンテストで出題された問題

高校数学の美しい物語運営チームによる入試数学コンテストで出題された問題と解答・解説を分野別に整理しました。

易しめの問題から超難問まで,幅広い難易度の問題が揃っています。

問題集その1

問題1−1

100!100! の末尾の 00 の個数を求めよ。

問題1−2

x+1x2x+\dfrac{1}{x^2}x>0x>0 の範囲での最小値とそのときの xx の値を求めよ。

問題1−3

不定積分 e2xsin3xdx\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx を求めよ。

問題1−4

三角形 ABCABC 内に点 PP があり,2PAundefined+3PBundefined+4PCundefined=0undefined2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} が成立するとき,三角形 PABPAB の面積は三角形 PBCPBC の面積の何倍になるか求めよ。

問題1−5

四角形 ABCDABCD において,AB=5,BC=6,CD=7,DA=8,ABC+ADC=180AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ} が成立する。四角形 ABCDABCD の面積 SS を求めよ。

解答は → 実践問題集その1

問題集その2

問題2−1

三角形 ABCABC において,tanA,tanB,tanC\tan A, \tan B, \tan C がいずれも整数となるとき tanC\tan C を求めよ。ただし,tanAtanBtanC\tan A\leq \tan B\leq\tan C とする。

問題2−2

任意の自然数 nn に対して,不等式

(1+1n)n(1+1n+1)n+1(1+\frac{1}{n})^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}

が成立することを証明せよ。

問題2−3

三角形 ABCABC において,AB=5,BC=6,CA=7AB=5, BC=6, CA=7 のとき三角形 ABCABC の内心と外心の距離を求めよ。

解答は → 実践問題集その2

数学オリンピックの練習問題(幾何不等式)

1991年国際数学オリンピックスウェーデン大会第一問です。

幾何不等式の練習問題

問題

三角形 ABCABC の内心を IIAIAIBCBC の交点を PPBIBICACA の交点を QQCICIABAB の交点を RR とおくとき,

14<AIBICIAPBQCR827\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{AP\cdot BQ\cdot CR}\leq\dfrac{8}{27} を証明せよ。

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不定方程式の難問

2014年日本数学オリンピック本選第二問です:

問題

2a+3b+1=6c2^a+3^b+1=6^c を満たす自然数 (a,b,c)(a,b,c) の組を全て求めよ

→ 不定方程式の難問

2009年APMO第2問の解説

代数の面白い問題です:

問題

a1,a2,a3,a4,a5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 を以下の5つの方程式を満たす実数とする。

p=15apk2+p=1k2(k=1,2,5)\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}=\dfrac{1}{k^2}\: (k=1,2\cdots,5)

このとき,M=a137+a238+a339+a440+a541M=\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41} の値を求めよ。

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tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明

tan1\tan 1^{\circ} は有理数か?

超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

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1984年IMO第1問の解説

1984年国際数学オリンピックチェコスロバキア大会の第1問です。

問題

x+y+z=1x+y+z=1 を満たす非負の実数 x,y,zx,y,z に対して以下の不等式を証明せよ:

0xy+yz+zx2xyz7270\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}

不等式証明の重要なテクニックが凝縮された良問です。

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円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明

2003年の東大の入試問題:

円周率が 3.053.05 より大きいことを証明せよ。

非常に有名な東大の入試問題です。この問題に対する五通りの解法を解説します。

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国際数学オリンピックの超難問3選

国際数学オリンピック(IMO)の過去問の中でも完答者が極めて少ない超難問を3問紹介します。

  • マスターデーモン(整数問題)
  • 20世紀最難問(幾何不等式)
  • 過去問の中で最難問(組合せ)

→ 国際数学オリンピックの超難問3選

2015年JJMO予選第7問の3通りの解法

問題

次の等式を満たす正の実数 xx を求めよ。

x+x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=2x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2

JJMO(日本ジュニア数学オリンピック)予選の中難易度の問題です。この問題の解説を通じてJJMO予選攻略のコツを見ていきます。

→ 2015年JJMO予選第7問の3通りの解法

複素数平面の問題(2016年東大理系第4問)

2016年東大理系第4問を解説します。

→ 複素数平面の問題(2016年東大理系第4問)

論理クイズ(帽子の色当て問題)

数学のクイズを紹介します。問題文は少し長いですがかなり面白いです。

→ 論理クイズ(帽子の色当て問題)

東大文系数学2017入試過去問解答解説

この記事では,東京大学の2017年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 東大文系数学2017入試過去問解答解説

東大理系数学2017入試過去問解答解説

この記事では,東京大学の2017年度入学試験の理系数学について解説します。

→ 東大理系数学2017入試過去問解答解説

東大文系数学2018入試過去問解答解説

この記事では,東京大学の2018年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 東大文系数学2018入試過去問解答解説

東大理系数学2018入試過去問解答解説

この記事では,東京大学の2018年度入学試験の理系数学について解説します。

→ 東大理系数学2018入試過去問解答解説

東大文系数学2019入試過去問解答解説

この記事では,東京大学の2019年度入学試験の文系数学について解説します。

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東大文系数学2020入試過去問解答解説

この記事では,東京大学の2020年度入学試験の文系数学について解説します。

→ 東大文系数学2020入試過去問解答解説

【解答・解説】東大文系数学2021

この記事では,東京大学の2021年度入学試験の文系数学について解説します。

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【解答・解説】東大理系数学2021

この記事は,本日2021/2/25に実施された「2021年度東京大学入学試験 数学(理系)」の速報記事です。

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京大文系数学2020入試過去問解答解説

この記事では,京都大学の2020年度入学試験の文系数学について解説します。

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京大理系数学2020入試過去問解答解説

この記事では,京都大学の2020年度入学試験の理系数学について解説します。

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京大文系数学2021入試過去問解答解説

この記事では,京都大学の2021年度入学試験の文系数学について解説します。

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京大理系数学2021入試過去問解答解説

この記事では,京都大学の2021年度入学試験の理系数学について解説します。

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式の計算・二次関数分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,式の計算・二次関数分野のものをまとめています。

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三角関数分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,三角関数分野のものをまとめています。

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確率・場合の数分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,確率・場合の数分野のものをまとめています。

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整数分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,整数分野のものをまとめています。

→ 整数分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

図形と方程式・ベクトル分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,図形と方程式・ベクトル分野のものをまとめています。

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微分・積分・極限分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,微積分・極限分野のものをまとめています。

→ 微分・積分・極限分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

数列分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,数列分野のものをまとめています。

→ 数列分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

複素数分野:練習問題一覧|入試数学コンテスト過去問集

この記事では,入試数学コンテストで出題された問題のうち,複素数分野のものをまとめています。

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