難問・良問

    更新日時 2021/03/23

    問題集その1

    問題1−1: 100!100! の末尾の 00 の個数を求めよ。

    問題1−2: x+1x2x+\dfrac{1}{x^2}x>0x>0 の範囲での最小値とそのときの xx の値を求めよ。

    問題1−3:不定積分 e2xsin3xdx\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx を求めよ。

    問題1−4:三角形 ABCABC 内に点 PP があり,2PAundefined+3PBundefined+4PCundefined=0undefined2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0} が成立するとき,三角形 PABPAB の面積は三角形 PBCPBC の面積の何倍になるか求めよ。

    問題1−5:四角形 ABCDABCD において,AB=5,BC=6,CD=7,DA=8,ABC+ADC=180AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ} が成立する。四角形 ABCDABCD の面積 SS を求めよ。

    → 実践問題集その1〜高校数学裏技公式集〜

    問題集その2

    問題2−1

    三角形 ABCABC において,tanA,tanB,tanC\tan A, \tan B, \tan C がいずれも整数となるとき tanC\tan C を求めよ。ただし,tanAtanBtanC\tan A\leq \tan B\leq\tan C とする。

    問題2−2

    任意の自然数 nn に対して,不等式

    (1+1n)n(1+1n+1)n+1(1+\frac{1}{n})^n\leq(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}

    が成立することを証明せよ。

    問題2−3

    三角形 ABCABC において,AB=5,BC=6,CA=7AB=5, BC=6, CA=7 のとき三角形 ABCABC の内心と外心の距離を求めよ。

    → 実践問題集その2〜高校数学裏技公式集〜

    数学オリンピックの練習問題(幾何不等式)

    1991年国際数学オリンピックスウェーデン大会第一問です。

    幾何不等式の練習問題

    問題

    三角形 ABCABC の内心を IIAIAIBCBC の交点を PPBIBICACA の交点を QQCICIABAB の交点を RR とおくとき,

    14<AIBICIAPBQCR827\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{AP\cdot BQ\cdot CR}\leq\dfrac{8}{27} を証明せよ。

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    不定方程式の難問

    2014年日本数学オリンピック本選第二問です:

    問題

    2a+3b+1=6c2^a+3^b+1=6^c を満たす自然数 (a,b,c)(a,b,c) の組を全て求めよ

    → 不定方程式の難問

    2009年APMO第2問の解説

    代数の面白い問題です:

    問題

    a1,a2,a3,a4,a5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 を以下の5つの方程式を満たす実数とする。

    p=15apk2+p=1k2(k=1,2,5)\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}=\dfrac{1}{k^2}\: (k=1,2\cdots,5)

    このとき,M=a137+a238+a339+a440+a541M=\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41} の値を求めよ。

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    tan1°が無理数であることの証明

    tan1\tan 1^{\circ} は有理数か?

    超有名な問題です。2006年度京大の入試問題です。ほとんどの受験生が解けなかったとの噂がある難問です。

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    1984年IMO第1問の解説

    1984年国際数学オリンピックチェコスロバキア大会の第1問です。

    問題

    x+y+z=1x+y+z=1 を満たす非負の実数 x,y,zx,y,z に対して以下の不等式を証明せよ:

    0xy+yz+zx2xyz7270\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}

    不等式証明の重要なテクニックが凝縮された良問です。

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    円周率が3.05より大きいことのいろんな証明

    2003年の東大の入試問題:

    円周率が 3.053.05 より大きいことを証明せよ。

    非常に有名な東大の入試問題です。この問題に対する五通りの解法を解説します。

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    国際数学オリンピックの超難問3選

    国際数学オリンピック(IMO)の過去問の中でも完答者が極めて少ない超難問を3問紹介します。

    • マスターデーモン(整数問題)
    • 20世紀最難問(幾何不等式)
    • 過去問の中で最難問(組合せ)

    → 国際数学オリンピックの超難問3選

    2015年JJMO予選第7問の3通りの解法

    問題

    次の等式を満たす正の実数 xx を求めよ。

    x+x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=2x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2

    JJMO(日本ジュニア数学オリンピック)予選の中難易度の問題です。この問題の解説を通じてJJMO予選攻略のコツを見ていきます。

    → 2015年JJMO予選第7問の3通りの解法

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