数列分野：練習問題一覧｜入試数学コンテスト過去問集

実数 $x$ に対して $k \leq x < k+1$ を満たす整数 $k$ を $[x]$ で表す。

以下の値をそれぞれ計算せよ。

(1) $$\sum_{n = 1}^{49} \dfrac{1}{\left[\sqrt{n}\right]}$$ (2) $$\sum_{n = 1}^{1000000} \left[\dfrac{n}{\left[\sqrt{n}\right]}\right]$$ ​

$n$ 個の区別できるボールが横一列に並んでいるとする。

全ての $i$ 対し，左から $i$ 番目にあるボールを左から $k_i$ 番目にうつすような操作を $$\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n\\ k_1 & k_2 & k_3 & \cdots & k_{n-1} & k_n \end{array}\right)$$ と表記する。このような操作を単に「操作」と呼ぶことにする。

例えば，$n = 3$ のとき， $$\sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ で表される操作 $\sigma$ は，左端のボールを中央に，中央のボールを右端に，右端のボールを左端に動かす操作である。

自然数 $n$ に対し，「ちょうど2回行うとボールの並びが元の並びと同じになる」という条件を満たす操作の個数を $a_n$ とおく。

例えば，$n = 3$ のとき， $$\tau = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ で表される操作 $\tau$ は条件を満たすが， $$\sigma = \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ で表される操作 $\sigma$ は条件を満たさない。

(1) $n \geq 3$ のとき，$a_n$ を $a_{n-1}$ と $a_{n-2}$ を用いて表せ。

(2) $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{\log a_n}{\log n!}$$

を求めよ。

1と2を合わせて $n$ 個並べて，10進数で $n$ 桁の整数を作ることを考える。

例えば $n=3$ のときは，111・112・121・122・211・212・221・222の8通りが考えられる。

(1) $n=4$ のとき，何通りの整数がありうるか求めよ。

(2) 偶数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

(3) 3の倍数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

(4) $n \geqq 2$ のとき，最小の素因数が7以上である整数は何通りできるか $n$ を用いて表せ。

ただし整数 $N$ の素因数とは，$N$ を割り切る素数のことを意味する。

非負整数 $n$ について，3種類の文字 $,\{\}$ から成る文字列 $w_n$ を以下のように定める。

・ $w_0=\{ \}$

・ $w_n = \{ w_0, \dots , w_{n-1} \}$

例えば $$\begin{aligned} w_1 &= \{w_0\} = \{ \{\} \}\\ w_2 &= \{w_0,w_1\}\\ &= \{\{\} , \{ \{\} \} \}\\ w_3 &= \{ w_0,w_1,w_2 \}\\ &= \{ \{\} , \{ \{\} \} , \{\{\} , \{ \{\} \} \} \} \end{aligned}$$ となる。

(1) $w_n$ の文字数を $l_n$ で表す。$l_n$ を求めよ。

(2) $w_n$ に含まれる $,\{\}$ の数をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ とする。$a_n,b_n,c_n$ を求めよ。

(3) $w_n$ にあらわれる文字を左から $v_n (1) , v_n (2) , \cdots , v_n (l_n)$ とおく。$1 \leqq i < j \leqq l_n$ であり，$v_n (i) v_n (j)$ が $\{\}$ となる2整数 $(i,j)$ の選び方の総数を $x_n$ とする。

例えば $w_0 = \{\}$ より $v_0 (1) = \{$，$v_0 (2) = \}$ であり，$x_0 = 1$ である。

$w_1 = \{\{\}\}$ より $v_1 (1) = \{$，$v_1 (2) =\{$，$v_1 (3) =\}$，$v_1 (4) = \}$ である。このとき $v_1 (1) v_1 (3)$，$v_1 (1) v_1 (4)$，$v_1 (2) v_1 (3)$，$v_1 (2) v_1 (4)$ が $\{\}$ となるため，$x_1 = 4$ である。

$x_n$ を求めよ。

二次方程式 $x^2-x-1=0$ の異なる2つの実数解をそれぞれ $\alpha, \beta$ とする。

(1) $\alpha+\beta$ の値を求めよ。

(2) $\alpha^{10}+\beta^{10}$ の値を求めよ。

(3) $\alpha+\beta, \alpha^2+\beta^2, \alpha^3+\beta^3, \cdots , \alpha^{2022}+\beta^{2022}$ の2022個の実数のうち，整数であって3の倍数であるもの個数を求めよ。

時刻 $0$ で点 $\mathrm{P}$ が $xy$ 平面上 $(0,0)$ にある。点 $\mathrm{P}$ は $1$ 秒ごとに次のルールに従って移動する。

点 $\mathrm{P}$ が $(a,b)$ にあるとき，

• 確率 $p$ で $(a+1,b)$ に移動する。
• 確率 $q$ で $(a+1,b+1)$ に移動する。
• 確率 $1-p-q$ で $(a,b+1)$ に移動する。

なお，$p,q,1-p-q$ は非負実数である。

整数 $k,l$ に対して，時刻 $n$ に点 $\mathrm{P}$ が $(k,l)$ にある確率を $P_n (k,l)$ とおく。

今，$a_n,b_n$ を次のように定める。

$$a_n = \sum_{k = 0}^{n}\sum_{l=0}^{n} \left(k \times P_n (k,l)\right)\\ b_n = \sum_{k=0}^{n}\sum_{l=0}^{n} \left(l \times P_n (k,l)\right)$$

(1) $P_2(1,0)$，$P_2(1,1)$，$P_2(1,2)$ を求めよ。

(2) $0\le i \le n$ なる整数 $i$ について $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} P_n(i,k)$ を求めよ。

(3) 実数 $x,y$ について$$\sum_{i=0}^n i{}_n \mathrm{C}_i x^i y^{n-i}$$を $\sum$ を使わない形で表せ。

(4) $a_n , b_n$ を求めよ。