一次分数型の漸化式の解法と例題

帰納的に $a_n\neq 0$ が分かるので漸化式の逆数を取ると， $$\dfrac{1}{a_{n+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{a_n}$$ となる。$\dfrac{1}{a_n}=b_n$ とおくと， $$b_{n+1}=2b_n+\dfrac{1}{2}$$ 特性方程式 $\alpha=2\alpha+\dfrac{1}{2}$ の解は $\alpha=-\dfrac{1}{2}$ であり， $$b_{n+1}+\dfrac{1}{2}=2\left(b_n+\dfrac{1}{2}\right)$$ と変形できる。

よって，数列 $\left\{b_n+\dfrac{1}{2}\right\}$ は初項が $1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}$，公比 $2$ の等比数列であるので $$b_n+\dfrac{1}{2}=3\cdot 2^{n-2}$$ よって， $$a_n=\dfrac{1}{3\cdot 2^{n-2}-\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{3\cdot 2^{n-1}-1}$$

まずは方程式 $x=\dfrac{5x-3}{x+1}$ を解く。 $$x(x+1)=5x-3$$ $$x^2-4x+3=0$$ $$x=1,3$$ $\alpha=3$ としてみる。 $b_n=a_n-3$ とおくと， $$\begin{aligned}b_{n+1}&=a_{n+1}-3\\ &=\dfrac{5a_n-3}{a_n+1}-3\\ &=\dfrac{2a_n-6}{a_n+1}\\ &=\dfrac{2b_n}{b_n+4}\end{aligned}$$ となる。また，$b_1=1$ であるので，例題1の結果より， $$b_n=\dfrac{2}{3\cdot 2^{n-1}-1}$$ よって， $$a_n=b_n+3=\dfrac{9\cdot 2^{n-1}-1}{3\cdot 2^{n-1}-1}$$

$\alpha=\dfrac{A\alpha+B}{C\alpha+D}$ のとき， $$\begin{aligned}&(a_{n+1}-\alpha)\\&=\dfrac{(AD-BC)(a_n-\alpha)}{C(C\alpha+D)(a_n-\alpha)+(C\alpha+D)^2}\end{aligned}$$ となり（簡単な計算で分かる），$B=0$ の場合に帰着できることが分かります。

さきほどの補足の式を使うと， $$\dfrac{a_{n+1}-\alpha}{a_{n+1}-\beta}=\dfrac{a_n-\alpha}{a_n-\beta}\cdot\dfrac{C\beta+D}{C\alpha+D}$$ が分かる。

$x=\dfrac{5x-3}{x+1}$ の解は $x=1,3$ であったので，$b_n=\dfrac{a_n-3}{a_n-1}$ とおくと， $$\begin{aligned}b_{n+1}&=\dfrac{\frac{5a_n-3}{a_n+1}-3}{\frac{5a_n-3}{a_n+1}-1}\\ &=\dfrac{2a_n-6}{4a_n-4}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a_n-3}{a_n-1}\\ &=\dfrac{1}{2}b_n\end{aligned}$$ よって，$b_1=\dfrac{1}{3}$ より $b_n=\dfrac{1}{3\cdot 2^{n-1}}$ $$\dfrac{a_n-3}{a_n-1}=\dfrac{1}{3\cdot 2^{n-1}}$$ を $a_n$ について解くと， $$a_n=\dfrac{9\cdot 2^{n-1}-1}{3\cdot 2^{n-1}-1}$$