漸化式の解き方12パターンと応用例まとめ

• $2,5,8,11,...$ のように，数がたくさん並んでいるものを考えます。数列と呼びます。

• 数列の $n$ 番目の数を $a_n$ と書きます。上の例だと $a_1=2,a_2=5,a_3=8,...$ です。

• 漸化式とは，数列において「前の数」から「新しい数」を作る規則のことです。

例えば $a_1=2$ という条件のもとで漸化式を適用すると，
$a_2=a_1+3=5$
$a_3=a_2+3=8$
$a_4=a_3+3=11$
のように，数列の各項を計算できます。

この漸化式は，さきほど見たように，「$n$ 番目の数」は「$n-1$ 番目の数」に $3$ を加えたものという意味です。つまりこの数列は，初項が $2$ で，公差が $3$ である等差数列です。よって $n$ 番目の数は，

$a_n=2+3\times(n-1)=3n-1$

となります。

ポイント：
このように， $a_n=a_{n-1}+d$ というタイプの漸化式は，等差数列を理解していれば解くことができます。

この漸化式は，「$n$ 番目の数」は「$n-1$ 番目の数」を $2$ 倍したものという意味です。つまりこの数列は，初項が $3$ で，公比が $2$ である等比数列です。よって $n$ 番目の数は，

$a_n=3\times 2^{n-1}$

となります。

ポイント：
このように， $a_n=ra_{n-1}$ というタイプの漸化式は，等比数列を理解していれば解くことができます。

漸化式を繰り返し使ってみると，

$a_n=a_{n-1}+n\\ =a_{n-2}+(n-1)+n\\ =a_{n-3}+(n-2)+(n-1)+n\\ =\cdots\\ =a_1+\displaystyle\sum_{k=2}^n k$

となります。ここで，1からnまでの和の公式を使うと，

$\displaystyle\sum_{k=2}^n k=\dfrac{1}{2}n(n+1)-1$

となるので，結局

$a_n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

となります。

ポイント：
このように， $a_n=a_{n-1}+f(n)$ というタイプの漸化式は，$f(n)$ の和を計算することで解けます。

漸化式は，$a_{n+1}+3=2(a_n+3)$ と変形できます（※）

よって，$\{a_n+3\}$ は公比が $2$ の等比数列です。そして，初項は $a_1+3=4$ です。よって，

$a_n+3=4\times 2^{n-1}$

よって，$a_n=2^{n+1}-3$

※なぜその変形が思いつくのか？
→特性方程式 $\alpha=2\alpha+3$ の解が $\alpha=-3$ だからです。詳しくはf(n)を含む二項間漸化式の２通りの解き方 の最初の例題を参照。

ポイント：
このように，$a_{n+1}=pa_n+q$ というタイプの漸化式は，平行移動して等比数列にすることで解けます。

答えは，$a_n=2^n-3^{n-1}$ になります。

$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$ という三項間漸化式の解き方は3通りあります。詳細は，三項間漸化式の3通りの解き方

また，三項間漸化式が解ければ，有名なフィボナッチ数列の一般項を計算することもできます。→フィボナッチ数列の8つの性質（一般項・黄金比・互いに素）

また，一般に一次の $k$ 項間漸化式については，漸化式の特性方程式の意味とうまくいく理由 で解説しています。

累乗が入った漸化式の解き方は，$k^n$ をかけたり割ったりすることで，より単純な漸化式に帰着できる場合が多いです。例えば，両辺を $k^{n+1}$ などで割って $b_n = \dfrac{a_n}{k^n}$ とおくことで，$b_n$ に関する漸化式が得られます。

この後登場する階乗を含む漸化式と似た変形です。

上記の6パターンが解ければ漸化式の基礎はバッチリです。

ここからは，より難しい漸化式を一気に紹介します。それぞれ説明が長くなるので，詳細はリンク先の記事で詳しく説明しています。

このような，$a_{n+1}=pa_n+f(n)$ 型の漸化式は，階差数列を何度も取ることで解けます。

詳細：f(n)を含む二項間漸化式の2通りの解き方

一次分数型の漸化式は，必要なら平行移動した上で逆数を取ることで解けます。 一次分数型の漸化式の解法と例題

連立漸化式は，3通りの解き方があります。例えば，$b_n$ を消去すると，三項間漸化式に帰着できます。 連立漸化式の3通りの解き方

これは6で登場した累乗を含む漸化式と解き方は近いです。

階乗を含む置き換えを使うことで，漸化式が解ける場合があります。 階乗を用いる漸化式の解法

一見解けませんが三角関数を用いることで一般項が表せる，有名な漸化式です。ロジスティック写像と漸化式

カタラン数と呼ばれる有名な数字を表す漸化式です。 カタラン数の意味と漸化式，数列の母関数とその応用例

ちなみに，解けない漸化式もたくさん存在します。つまり，上の11個の例題のように「漸化式で表される数列の一般項が $n$ のきれいな式で表せる」のはむしろ特別な場合と言えます。

• 破産の確率と漸化式
  漸化式は場合の数，確率の問題でも頻繁に顔を出します。

• sinのn乗，cosのn乗の積分公式
  $n$ 乗の積分といえば部分積分＆漸化式。積分にも漸化式が登場。

• 漸化式で表される数列の極限
  漸化式は極限にも登場します。一般項が求まらなくても数列の極限なら求まる場合もあります。

• 漸化式を用いた関数方程式の解法
  関数方程式にまで漸化式が登場。

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