ウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式

更新日時 2023/08/16

ウォリス積分

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} &(n \text{が奇数})\\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac{\pi}{2} &(n \text{が偶数}) \end{cases}$

$\sin^nx$ と $\cos^n x$ の定積分（ウォリス積分）を求める解法を説明します。

$\sin^n x,\:\cos^n x$ の定積分は，部分積分と漸化式を使って求めることができます。 $n$ 乗の積分を求める際に部分積分を用いて漸化式を導く方法は頻出です。

また，途中で三角関数の積分に関する一般的な公式（ $\sin$ と $\cos$ の対称性）が出てきます。

sinのn乗の積分

部分積分と漸化式を用いて， $I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$ を求めてみます。初期条件として $I_0=\dfrac{\pi}{2}$ と $I_1=1$ を用います。

$\begin{aligned} I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\sin^{n-1}xdx\\ &= \Big[ -\cos x\sin^{n-1}x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x\cos^2xdx\\ &= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx\\ & =-(n-1)I_n+(n-1)I_{n-2} \end{aligned}$

よって，以下の漸化式が成立する：

$I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$

よって， $n$ が奇数のとき，

$\begin{aligned} I_n &= \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\\ &=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}I_{n-4}\\ &=\cdots\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!}I_1\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!} \end{aligned}$

同様に， $n$ が偶数のとき，

$\begin{aligned} I_n &= \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\\ &=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}I_{n-4}\\ &=\cdots\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!}I_0\\ &=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!} \end{aligned}$

ここで， $n!!$ は1個飛ばしの階乗を表します（二重階乗と言います）。→階乗，二重階乗，超階乗

例えば $4!!=4\cdot 2=8$ や， $5!!=5\cdot 3\cdot 1=15$ などです。

対称性を利用したcosのn乗の積分

「 $\sin$ の積分ができれば $\cos$ の積分もできる」というのが積分の鉄則の1つです。 $\sin$ の積分と $\cos$ の積分がどのように対応しているかは定積分の範囲によるので，そのつど図を描くとよいです。

積分におけるsinとcosの対称性今回は定積分の範囲が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ までで， $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ となるので一般的に， $\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx$ が成立します。よって， $\cos$ の $n$ 乗の積分は $\sin$ の $n$ 乗の積分と同じです。