ウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式

$$\begin{aligned} I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\sin^{n-1}xdx\\ &= \Big[ -\cos x\sin^{n-1}x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x\cos^2xdx\\ &= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx\\ & =-(n-1)I_n+(n-1)I_{n-2} \end{aligned}$$

よって，以下の漸化式が成立する：

$$I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$$

よって，$n$ が奇数のとき，

$$\begin{aligned} I_n &= \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\\ &=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}I_{n-4}\\ &=\cdots\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!}I_1\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!} \end{aligned}$$

同様に，$n$ が偶数のとき，

$$\begin{aligned} I_n &= \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\\ &=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}I_{n-4}\\ &=\cdots\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!}I_0\\ &=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!} \end{aligned}$$