ウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式

更新 2023/08/16

ウォリス積分

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n xdx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx = \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} &(n \text{が奇数})\\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\dfrac{\pi}{2} &(n \text{が偶数}) \end{cases}$

$\sin^nx$ と $\cos^n x$ の定積分（ウォリス積分）を求める解法を説明します。

$\sin^n x,\:\cos^n x$ の定積分は，部分積分と漸化式を使って求めることができます。 $n$ 乗の積分を求める際に部分積分を用いて漸化式を導く方法は頻出です。

また，途中で三角関数の積分に関する一般的な公式（ $\sin$ と $\cos$ の対称性）が出てきます。

sinのn乗の積分

部分積分と漸化式を用いて， $I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx$ を求めてみます。初期条件として $I_0=\dfrac{\pi}{2}$ と $I_1=1$ を用います。

$\begin{aligned} I_n &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\sin^{n-1}xdx\\ &= \Big[ -\cos x\sin^{n-1}x \Big]_0^{\frac{\pi}{2}}+(n-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}x\cos^2xdx\\ &= (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x)dx\\ & =-(n-1)I_n+(n-1)I_{n-2} \end{aligned}$

よって，以下の漸化式が成立する：

$I_n=\dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$

よって， $n$ が奇数のとき，

$\begin{aligned} I_n &= \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\\ &=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}I_{n-4}\\ &=\cdots\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!}I_1\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!} \end{aligned}$

同様に， $n$ が偶数のとき，

$\begin{aligned} I_n &= \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}\\ &=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-3}{n-2}I_{n-4}\\ &=\cdots\\ &=\dfrac{(n-1)!!}{n!!}I_0\\ &=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!} \end{aligned}$

ここで， $n!!$ は1個飛ばしの階乗を表します（二重階乗と言います）。→階乗，二重階乗，超階乗

例えば $4!!=4\cdot 2=8$ や， $5!!=5\cdot 3\cdot 1=15$ などです。

対称性を利用したcosのn乗の積分

「 $\sin$ の積分ができれば $\cos$ の積分もできる」というのが積分の鉄則の1つです。 $\sin$ の積分と $\cos$ の積分がどのように対応しているかは定積分の範囲によるので，そのつど図を描くとよいです。

積分におけるsinとcosの対称性今回は定積分の範囲が $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ までで， $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$ となるので一般的に， $\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\cos x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(\sin x)dx$ が成立します。よって， $\cos$ の $n$ 乗の積分は $\sin$ の $n$ 乗の積分と同じです。

以上の結果をまとめると以下のようになります：

$n$ が奇数のとき，

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx =\dfrac{(n-1)!!}{n!!}$

$n$ が偶数のとき，

$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^nxdx=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{(n-1)!!}{n!!}$

ちなみに，定積分の範囲を変えた問題も出題されますが，本質的には上記の積分と同じです。全て同様に部分積分と漸化式のテクニックで対応できます。

重要なのは上記の公式を覚えることよりも， $\sin^n x, \cos^n x$ の定積分は部分積分と漸化式を使って求めることができる，と理解しておくことです。

ちなみに， $\tan^{2n} x$ の定積分も漸化式を使って求めることができます。→グレゴリー・ライプニッツ級数の2通りの証明

サインとコサインの積分は同じ方法でできる！

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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！