グレゴリー・ライプニッツ級数の２通りの証明

$f_n(x)=\dfrac{1}{1+x^2}-\{1-x^2+x^4-\cdots+(-1)^{n-1}x^{2n-2}\}$

とおくと等比数列の公式より，

$f_n(x)=\dfrac{1}{1+x^2}-\left\{\dfrac{1-(-x^2)^{n}}{1+x^2}\right\}=\dfrac{(-1)^nx^{2n}}{1+x^2}$

これは $n$ が十分大きいと $0\leq x < 1$ で $0$ に近づくことに注意すると，

$\left|\displaystyle\int_0^1 f_n(x)dx\right|\leq\displaystyle\int_0^1 |f_n(x)|dx\\ <\displaystyle\int_0^1 x^{2n}dx\\ =\dfrac{1}{2n+1}$

よってはさみうちの原理より

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx=0$

一方，$\displaystyle\int_0^1f_n(x)dx$ を直接計算すると，

第一項は $x=\tan\theta$ と置換することにより，

$\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta=\dfrac{\pi}{4}$

後ろの項（カッコの中）は

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$

以上から，

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left\{\dfrac{\pi}{4}-\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\right\}=0$

となり $\dfrac{\pi}{4}$ に収束することが証明された。

$I_n=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^{2n}xdx$ とおくと，

$I_{n+1}=\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}}\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)(\tan^{2n}x)dx\\ =\dfrac{1}{2n+1}-I_n$

よって，

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k-1}}{2k-1}\\ =\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}(I_{k}+I_{k-1})\\ =(-1)^{n-1}I_{n}+I_{0}\\ =(-1)^{n-1}I_{n}+\dfrac{\pi}{4}$

よって，あとは $\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_{n}=0$ を示せばよい。

これは，$0 \leq I_n \leq \dfrac{1}{2n+1}$

（右側の不等式は $I_{n+1} \geq 0$ と $I_n$ の漸化式から成立）

とはさみうちの原理より成立。