行列・関数・多項式に共通する有名な性質

$A=\dfrac{A+A^T}{2}+\dfrac{A-A^T}{2}$

と分解できるが，$\dfrac{A+A^T}{2}$ は対称行列，$\dfrac{A-A^T}{2}$ は交代行列であることがそれぞれの転置を取ることで確認できる。

対称行列 $B$ と交代行列 $C$ を使って

$A=B+C$ と分解できたとする。

両辺の転置を取ると

$A^{\top}=B^{\top}+C^{\top}=B-C$

この2つの式を $B$ と $C$ についてそれぞれ解くと

$B=\dfrac{A+A^{\top}}{2}$，$C=\dfrac{A-A^{\top}}{2}$

よって，$A=\dfrac{A+A^{\top}}{2}+\dfrac{A-A^{\top}}{2}$

実際に $B$ が対称行列で $C$ が交代行列であることも確認できる。

$f(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$

と分解できるが，$g(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}$ は $g(-x)=g(x)$ より偶関数，$h(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$ は $h(x)=-h(-x)$ より奇関数である。

$f(x,y)=\dfrac{f(x,y)+f(y,x)}{2}+\dfrac{f(x,y)-f(y,x)}{2}$

と分解できるが，第一項は $x$ と $y$ に関して対称であり，第二項は $x$ と $y$ に関して反対称である。