懸垂線の２通りの導出

長いひもの一部 $0\leq x \leq x_0$ の区間を考える。両端にかかる張力を $T_0, T$，ひもにかかる重力を $W$，$x_0$ でのひもの角度を $\theta$ とおく。

$T_0$ は $x_0$ によらない定数なので（注），力の釣り合いから以下の式が成立する：

$$T\cos\theta=T_0, T\sin\theta=W$$

よって， $$\tan\theta=\dfrac{W}{T_0}$$

ここで，$W$ は線の長さ $s$ に比例するので， $$\dfrac{dy}{dx}=\tan\theta=\dfrac{s}{a}$$ （$a$ は定数）と書ける。

$ds^2=dx^2+dy^2$ より，

$$\begin{aligned} \dfrac{ds}{dx}&=\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\\ &=\dfrac{\sqrt{s^2+a^2}}{a} \end{aligned}$$

よって，

$$\int \dfrac{ds}{\sqrt{s^2+a^2}}=\displaystyle\int \dfrac{dx}{a}$$

左辺の積分計算がめんどうなので詳細は省略するが，両辺積分して整理すると， $$\begin{aligned} s &= \frac{x}{a}\\ &= \dfrac{a(e^{\tfrac{x}{a}}-e^{-\tfrac{x}{a}})}{2} \end{aligned}$$

(境界条件は $x=0$ で $s=0$)

同様に， $$\begin{aligned} \dfrac{ds}{dy} &= \sqrt{1+\left(\dfrac{dx}{dy}\right)^2}\\ &= \dfrac{\sqrt{s^2+a^2}}{s} \end{aligned}$$

から， $$\int \dfrac{sds}{\sqrt{s^2+a^2}}=\displaystyle\int dy$$

の両辺を積分して $y=\sqrt{a^2+s^2}$

以上2式より $s$ を消去すれば懸垂線の式が得られる。

ひもに蓄えられた位置エネルギーは以下の式で表される：

$$\int mgyds=\rho g\int y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$$

よって，$f=y\sqrt{1+y^{\prime 2}}$ とおいてオイラーラグランジュ方程式を用いるのが筋。

ただし，$f$ は $x$ を含まないので，ベルトラミの公式 $f-y^{\prime}\dfrac{\partial f}{\partial y^{\prime}}=C$ が使える：

$$\dfrac{y}{\sqrt{1+y^{\prime 2}}}=C$$

上式を整理する：

$$\int \dfrac{Cdy}{\sqrt{y^2-C^2}}=\displaystyle\int dx$$

よって，この式を積分することにより，懸垂線の一般式が得られる：

$$y=C\cosh \left(\dfrac{x-A}{C}\right)$$

特に，$x$ 軸対称な場合が重要で，そのときには積分定数は $A=0$ となり，目標の式を得る。

$x = 0$ から $x = t$ までの長さを $L(t)$ とおく。

曲線の長さを計算する積分公式 より $$L(t) = \int_0^t \sqrt{1+\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2} dx$$ である。

$$\begin{aligned} &1 + \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2\\ &= 1 + \dfrac{e^{\tfrac{2x}{a}}-2+e^{-\tfrac{2x}{a}}}{4}\\ &= \dfrac{e^{\tfrac{2x}{a}}+2+e^{-\tfrac{2x}{a}}}{4}\\ &= \left( \dfrac{e^{\tfrac{x}{a}}+e^{-\tfrac{x}{a}}}{2} \right)^2 \end{aligned}$$ と計算されるため $$\begin{aligned} L(t) &= \int_0^t \dfrac{e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}}{2} dx\\ &= \dfrac{a}{2} \left[ e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}} \right]_0^t\\ &= \dfrac{a(e^{\frac{t}{a}} - e^{-\frac{t}{a}})}{2} \end{aligned}$$ となる。