高校数学の美しい物語

$\triangle \mathrm{ABC}$ があり $\angle \mathrm{A} = \dfrac{5}{18} \pi$，$\angle \mathrm{B} = \dfrac{5}{9}\pi$，$\angle \mathrm{C} = \dfrac{\pi}{6}$ である。辺 $\mathrm{BC}$ 上に $\angle \mathrm{BAD} = \dfrac{\pi}{6}$ を取り $\mathrm{B}$ から辺 $\mathrm{AC}$ に下した垂線との交点を $\mathrm{H}$ とし $\mathrm{BH}$ と $\mathrm{AD}$ の交点を $\mathrm{E}$ とする。

1. $\dfrac{\tan \dfrac{5}{18} \pi \tan \dfrac{7}{18} \pi}{\tan \dfrac{\pi}{3} \tan \dfrac{4}{9} \pi}$ を求めよ。
2. $\angle \mathrm{CEH}$ を求めよ。

• $f$ を二変数の連続で微分可能な関数とする。

• $(p,q)$ を，$f(p , q) = 0,\dfrac{\partial f}{\partial y} (p , q) \neq 0$ を満たす点とする。

このとき，$(p , q)$ の近傍で定義される $g(x)$ という関数があって $f(x , g(x)) = 0$ となる。つまり $f(x,y) = 0$ という形の（性質のよい）関数は局所的に $y = g(x)$ と表せる。

さらに $g(x)$ の微分係数は $\dfrac{dg}{dx} = -\dfrac{f_x}{f_y}$ となる。

正 $n$ 角形 $A_1A_2\dots A_n$ が半径 $1$ の円に内接しているとき，以下の1～4が成立する。

1. $\displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^2=2n$
2. $\displaystyle\prod_{k=2}^n(A_1A_k)=n$
3. $\displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^{2m}=n\times{}_{2m}\mathrm{C}_m\:(n>m>0)$
4. $\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{(A_1A_k)^2}=\dfrac{n^2-1}{12}$

半径が $r_1,r_2,r_3,r_4$ である4つの円が互いに外接するとき， $$\left(\dfrac{1}{r_1}+\dfrac{1}{r_2}+\dfrac{1}{r_3}+\dfrac{1}{r_4}\right)^2=2\left(\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}+\dfrac{1}{r_3^2}+\dfrac{1}{r_4^2}\right)$$

無向グラフ $G$ に対して，$G$ の全域木の個数は，$G$ のラプラシアン行列の任意の余因子と等しい。

異なる $n$ 種類のものから、重複を許して $r$ 個取り出して並べる順列の個数は $n^r$

任意の三角形 $ABC$ に対して， $$\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$$ を満たす点 $P$ が（三角形 $ABC$ の内部に）ただ1つ存在する。点 $P$ を三角形 $ABC$ のブロカール点と呼ぶ。

集合 $S$ の部分集合族 $\mathfrak{O}$ が開集合系を成すとは，次の3条件を満たすことである、

1. $\emptyset , S \in \mathfrak{O}$
2. $O_1 , O_2 \in \mathfrak{O}$ のとき $O_1 \cap O_2 \in \mathfrak{O}$
3. $O_{\lambda} \in \mathfrak{O}$ のとき $\displaystyle \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathfrak{O}$（このとき $\Lambda$ は無限集合でもよい）

このとき $S$ に位相構造が入る といい，$(S, \mathfrak{O})$ のペアを 位相空間 という。

また，$\mathfrak{O}$ の元を 開集合 という。開集合の補集合となる部分集合を 閉集合 という。

$H$ を $G$ の部分群とする。このとき $|G| = (G:H) |H|$ である。

※ 位数が無限でも成立する。

確率密度関数が $$f(t)=mt^{m-1}\exp(-t^m)\:(t\geqq 0)$$ である確率分布をワイブル分布と言う。

$$\begin{aligned}X&=ax-by+c\\ Y&=bx+ay+d\end{aligned}$$

という式で $(x,y)$ を $(X,Y)$ にうつすような変換をヘルマート変換と言う。

$$\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s} = \prod_{p} \dfrac{1}{1-\frac{1}{p^s}}$$

数列 $\{ a_n \}$ がコーシー列であるとは， $$\lim_{n,m \to \infty} |a_n - a_m| = 0$$ であることを表す。

イプシロンデルタ論法の表現できちんと述べると，

任意の正の実数 $\varepsilon$ に対し，ある正の整数 $N$ があって，$N$ より大きい任意の整数 $n,m$ に対して $$| a_n - a_m | < \varepsilon$$ となることを表す。

任意の正規行列 $A$ は以下のように分解できる。 $$A=\displaystyle\sum_{i=1}^N\lambda_iP_{\lambda_i}$$ ただし，$\lambda_1,...,\lambda_N$ は $A$ の相異なる固有値すべてで，$P_{\lambda_i}$ は固有値 $\lambda_i$ の固有空間への射影行列。

正方行列に対して

「$i$ 行目と $j$ 列目を除いた行列」の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたもの

を$(i,j)$ 余因子と言う。

頂点がすべて格子点上にある多角形の面積は

内側の格子点数+辺上の格子点数$÷2-1$