高校数学の美しい物語

$|x| < 1$ なる実数 $x$ について，

$$\begin{aligned} \arcsin x &= x + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{3}{40} x^5 + \cdots\\ \arccos x &= \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6} x^3 - \dfrac{3}{40} x^5 - \cdots \end{aligned}$$

となる。

$5$ 以上の任意の素数 $p$ に対して， $$\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{p-1}$$ を既約分数で表したときの分子は $p^2$ の倍数。

群 $G$ がリー群であるとは，次の2条件を満たすことをいう。

1. $G$ は多様体である。
2. $G$ の演算（積および逆元を取る操作）は多様体の $C^{\infty}$ 級写像になる。

有限群 $G$ について，その位数を $|G|=p^km$ とする（ただし $p$ は素数で，$m$ は $p$ の倍数でないとする）。

このとき，$G$ の部分群で位数が $p^k$ であるものが存在する。

$V,W$ を $K$ 上のベクトル空間とする。（$K$ は体，例えば $\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ など）

写像 $p: V \to W$ が

1. $\phi (v_1 + v_2) = \phi (v_1) + \phi (v_2)$（$v_1 , v_2 \in V$）
2. $\phi (cv) = c \phi (v)$（$a \in K$，$v \in V$）

を満たすとき $\phi$ を線型写像（線型変換）という。

多くの状況で自然数の最初の桁（最高位）に現れる数は一様に分布しない。

具体的に $n \ (= 1,2, \dots , 9)$ の出てくる確率 $P_n$ は $$P_n = \log_{10} \dfrac{n+1}{n}$$ に近いことが多い。

正則な $2 \times 2$ 行列は，回転行列・対角行列・（対角成分が $1$ である）上三角行列の積，つまり $$\begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x &0\\ 0 &y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0&1 \end{pmatrix}$$ という形に分解できる。

空間内の2直線 $l,m$ はねじれの位置にあるとする。$l$ と $m$ に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ が極大値と極小値を持つとき，その差は $$\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{2}$$ である。ただし，$\alpha,\beta\:(\alpha<\beta)$ は $f'(x)=0$ の解。

行列 $A$ の最小多項式とは，最高次数の係数が $1$ の多項式 $f$ であって $f (A) = O$ となるもののうち次数が一番小さいものである。

正七角形の対角線の長さを短い順に $a,b,c$ とすると， $$\dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$$ が成立する。

$$\exp \left( \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} \right) =\frac{\Gamma (x)}{\sqrt{2\pi}}$$

ただし，$\zeta (s,x)$ はフルヴィッツのゼータ関数 $$\zeta (s,x) =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+x)^s}$$ である。$(s>1 , x> 0)$

$z \in \mathbb{C}$ に対して，ガンマ関数を $$\Gamma(z)= \lim_{n\to\infty} \dfrac{n^zn!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}$$ と定義することができる。

$1729$ は2つの立方数の和として2通りに表される最小の自然数である： $$1729=12^3+1^3=10^3+9^3$$ これを（ラマヌジャンの）タクシー数という。

$2$ 以上の自然数 $n$ に対して，$n$ を割り切る素数の個数を $f(n)$ とする。例えば $n=120$ のとき，$120$ を割り切る素数は $2$ と $3$ と $5$ なので，$f(120) = 3$ である。不等式 $f(n) \geqq \dfrac{\sqrt{n}}{2}$ を満たす $2$ 以上の自然数 $n$ をすべて求めよ。

$$\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \log n \right)$$ をオイラーの定数（オイラー・マスケローニ定数）といいます。

頂点がすべて格子点上にある多角形の面積は

内側の格子点数+辺上の格子点数$÷2-1$