高校数学の美しい物語

$p$ を $3$ 以上の素数，$\theta$ を実数とする。

1. $\cos 3\theta$ と $\cos 4 \theta$ を $\cos \theta$ の式として表せ。
2. $\cos \theta = \dfrac{1}{p}$ のとき，$\theta = \dfrac{m}{n} \cdot \pi$ となるような正の整数 $m,n$ が存在するか否かを理由を付けて説明せよ。

$$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)$$

$L_0=2,L_1=1,\\L_n=L_{n-1}+L_{n-2}\:(n\geq 2)$

で定まる数列 $\{L_n\}$ に現れる数をリュカ数と呼ぶ。

ニコメデスのコンコイドとは $$(x-b)^2 (x^2+y^2) = a^2 x^2$$ で表される曲線である。

$e^{\pi} > \pi^e$ を証明せよ。

円周率 $\pi$ は無理数である。

ベルヌーイ数 $B_n$ を $$\dfrac{x}{e^x-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{B_n}{n!} x^n$$ と定める。

• $D$ を単純閉曲線（自分と交わらない閉じた曲線）で囲まれた領域とする。
• $f$ を領域 $\overline{D} = D \cup \partial D$ で正則な関数とする。

このとき $D$ の内部の任意の点 $z$ で $$f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \dfrac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$ となる（線積分の向きは反時計回り，より厳密には領域の内側から見て左周りに定める）。

$\displaystyle \int_a^b \lim_{n\to\infty} f_n(x) dx = \lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x) dx$

という式について，

1. $f_n(x)$ が一様収束するなら成立する（十分条件）
2. ただし，一般には成立しない
3. 一様収束しなくても成立することがある（単調収束・一様有界など他の十分条件がある）

三次元空間において，$\overrightarrow{n}$ を軸として，$\overrightarrow{r}$ を $\theta$ 回転させた点 $\overrightarrow{r'}$ は，

$\overrightarrow{r'}=(\cos\theta)\overrightarrow{r}+(1-\cos\theta)(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}+(\sin\theta)(\overrightarrow{n}\times\overrightarrow{r})$

チューリングマシンとは，次の6つの要素の組として定義される，ある規則にしたがって自動で計算を進める数学的なモデルのこと： $$(Q, \Sigma, \delta, q_0, q_{\mathrm{acc}}, q_{\mathrm{rej}})$$

三角形について，各頂点から対辺におろした垂線の足がなす三角形を垂足三角形と言う。

$0$ 以上 $\dfrac{1}{2}$ 以下である $n$ 個の実数 $x_1,x_2,\dots,x_n$ に対して，$\dfrac{G}{G'}\leq\dfrac{A}{A'}$

ただし，$A$ と $G$ は $x_i$ たちの相加平均と相乗平均：

• $A=\dfrac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}$
• $G=\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}$

$A'$ と $G'$ は $(1-x_i)$ たちの相加平均と相乗平均：

• $A'=\dfrac{(1-x_1)+(1-x_2)+\dots +(1-x_n)}{n}$
• $G'=\sqrt[n]{(1-x_1)(1-x_2)\dots (1-x_n)}$

$\overrightarrow{\theta}_{n+1}\\=\overrightarrow{\theta}_{n}+P_{n+1}\overrightarrow{a}_{n+1}(b_{n+1}-\overrightarrow{a}_{n+1}^{\top}\overrightarrow{\theta}_n)$

$P_{n+1}=P_n-\dfrac{P_n\overrightarrow{a}_{n+1}\overrightarrow{a}_{n+1}^{\top}P_n}{1+\overrightarrow{a}_{n+1}^{\top}P_n\overrightarrow{a}_{n+1}}$

$a+b=c$ を満たす互いに素な自然数の組 $(a, b, c)$ であって，任意の $\epsilon > 0$ に対して， $$c > \text{rad} (abc)^{1+\epsilon}$$ を満たすものは有限個しか存在しない。

直角三角形において，$a^2+b^2=c^2$

つまり「斜辺以外の二辺の長さの二乗の和」は「斜辺の二乗」と等しい。

正方行列 $A$ が， $$A^T = -A$$ を満たすとき，$A$ を「交代行列（反対称行列，歪対称行列，英：alternating matrix, antisymmetric matrix, skew symmetric matrix）」と呼ぶ。

$$\rho \left\{\dfrac{\partial{\boldsymbol{v}}}{\partial{t}} + \left(\boldsymbol{v} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{v}\right\} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \rho \boldsymbol{f}$$

単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。