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【速報|解答・解説あり】東大理系数学2022
2022/2/25に実施された「2022年度東京大学入学試験 数学(理系)」の速報記事です。
全体分析
項目 | データ |
---|---|
試験日時 | 2022/2/25(金) |
試験時間 | 150分 |
解答問題数 | 6題 |
分量(前年比) | 増加 |
難易度(前年比) | 難化 |
特徴・傾向 | 状況を正しく把握して立式する能力が中心に試される。 |
※以下の解答・解説,講評等はいずれも東京大学が公表したものではなく,当サイトオリジナルのものです。複数名の現役理系東大生によって作成されています。問題は東京大学第2次試験問題からの引用です。
微分方程式の解法(同次形・線形微分方程式)
微分方程式といえば,偏微分方程式・常微分方程式,さらにはRicatti形やBernoulli形など様々な種類があります。この記事では,常微分方程式のなかでも,同次型の解法と定数係数の線形微分方程式の微分方程式の解法を紹介します。
ナッシュ均衡
どのプレイヤーも「戦略を変更しないでいることが最も合理的である」ような均衡状態をナッシュ均衡(Nash equilibrium)という。
ナッシュ均衡とは,ゲーム理論における概念です。その定義と具体例,パレート効率性との関係,ナッシュ均衡の存在に関するナッシュの定理を紹介します。
チューリングマシンの定義とそれに関連する話
チューリングマシンとは,次の6つの要素の組として定義される,ある規則にしたがって自動で計算を進める数学的なモデルのこと:
イギリスの数学者アラン・マシスン・チューリング(Alan Mathison Turing)が定式化したチューリングマシン(チューリング機械)について解説します。「計算」とは何であるか,を定義するモデルとして使われており,計算機科学における最も重要な概念の1つです。
逐次最小二乗法(RLS)
逐次最小二乗法(Recursive Least Squares, RLS)について,問題設定から以下の更新式の導出まで解説します。
媒介変数表示
媒介変数表示とは,「関連する変数同士の関係を他の変数を用いて表すこと」です。
変数同士を繋ぎ,関係を作っている変数を,媒介変数またはパラメータと呼びます。媒介変数としては などがよく使われます。
媒介変数表示をパラメータ表示と呼ぶこともあります。
ガウスの発散定理・ストークスの定理の証明
ガウスの発散定理(英:Divergence Theorem) ストークスの定理(英:Stokes’ Theorem)
ベクトル解析の有名な公式「ガウスの発散定理」「ストークスの定理」を導出します。物理でよく使われる公式です。
ガウスの発散定理とストークスの定理は証明の構造がとても似ています。
テンソルとは何か Part.1
「テンソル」という言葉には,
- 代数学における「ベクトル空間のテンソル積」
- 物理や微分幾何における「テンソル場」
- その他,数の高次元配列としてのテンソルなど
といった,さまざまな意味がある。
この記事はPart.1として1. 線形代数における「ベクトル空間のテンソル積」について説明します。
テンソルとは何か Part.2
「テンソル」という言葉には,
- 代数学における「ベクトル空間のテンソル積」
- 物理や微分幾何における「テンソル場」
- その他,数の高次元配列としてのテンソルなど
といった,さまざまな意味がある。
この記事ではPart.2として「テンソル積における基底変換」と物理や微分幾何における「テンソル場」について説明します。
交代行列の定義と性質
正方行列 が, を満たすとき, を「交代行列(反対称行列,歪対称行列,英:alternating matrix, antisymmetric matrix, skew symmetric matrix)」と呼ぶ。
積分方程式の解き方
求めたい関数が被積分関数として現れるような方程式を,積分方程式といいます。この記事では,高校数学で登場する積分方程式の解き方について,例題7問でしっかり解説します。
ナビエ-ストークス方程式の導出
ナビエ-ストークス方程式(英語でNavier–Stokes equations,略してNS方程式とも呼ばれます)は,古典力学における「運動方程式」を流体力学的に書き直したものです。これの導出について説明します。また,ナビエストークス方程式の一般解が存在するかどうかは,数学的に解明されていません。これについても少し触れます。
ベクトル空間と次元
足し算とスカラー倍ができるような代数系をベクトル空間(線型空間)という。
高校までの「ベクトル」の概念を一般化した代数的構造がベクトル空間(線型空間)です。これにより,数列や関数なども「ベクトル」だと考えられるようになります。
BSD予想の主張の解説
楕円曲線 の階数は, の 関数 の における零点の位数に等しい。
ミレニアム懸賞問題とは,100万ドルの懸賞金がかけられている,数学における重要な7つの難問です。
ポアンカレ予想の主張の解説
単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。
ミレニアム懸賞問題とは,100万ドルの懸賞金がかけられている,数学における重要な7つの難問です。