高校数学の美しい物語

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3次関数の極大値と極小値の差をすばやく計算するテクニック

定理

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d が極大値と極小値を持つとき,その差は a(βα)32\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{2} である。ただし,α,β(α<β)\alpha,\beta\:(\alpha<\beta)f(x)=0f'(x)=0 の解。

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行列の最小多項式

定義

行列 AA の最小多項式とは,最高次数の係数が 11 の多項式 ff であって f(A)=Of (A) = O となるもののうち次数が一番小さいものである。

この記事では,線形代数においてとても重要な最小多項式について解説します。

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多様体入門1~定義と簡単な例

多様体

多様体とは,局所的にユークリッド空間 Rn\mathbb{R}^n と微分同相になる空間である。

次の2つがポイントである。

  1. 球など曲がった図形をユークリッド空間と見なすことができる。
  2. 微分を考えることができる。

この記事では多様体の定義と簡単な例を紹介します。

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正七角形の対角線の性質

定理

正七角形の対角線の長さを短い順に a,b,ca,b,c とすると, 1a=1b+1c \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} が成立する。

pic

この記事では正七角形について,シンプルで美しい等式とその証明を紹介します。

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レルヒの公式

レルヒの公式

exp(sζ(s,x) s=0)=Γ(x)2π \exp \left( \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} \right) =\frac{\Gamma (x)}{\sqrt{2\pi}}

ただし,ζ(s,x)\zeta (s,x) はフルヴィッツのゼータ関数 ζ(s,x)=n=01(n+x)s \zeta (s,x) =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+x)^s} である。(s>1,x>0)(s>1 , x> 0)

ゼータ関数とガンマ関数が交じり合う美しい公式「レルヒの公式」を証明します。

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微分と極限の交換

定理(一様収束するなら微分と極限は交換できる)
  • {fn}\{ f_n \}[a,b][a,b] 上の微分可能な関数列で ff に収束

かつ

  • {fn}\{f'_n\}[a,b][a,b] 上で一様収束

ならば, limnfn(x)=f(x)\displaystyle \lim_{n \to \infty} {f_n}' (x) = f'(x) となる。つまり,微分と極限が交換できる

この記事では,微分と極限の交換についての例や定理を見ていきます。

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ディガンマ関数

ディガンマ関数

ディガンマ関数 ψ(z)\psi (z)とは,ガンマ関数の対数微分,すなわち ψ(z)=ddzlogΓ(z) \psi (z) = \dfrac{d}{dz} \log \Gamma (z) のことである。

ディガンマ関数は,ガンマ関数の対数微分によって得られる特殊関数です。

この記事では,ガンマ関数を通してディガンマ関数の様々な性質を見ていきます。

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ガンマ関数の無限積表示と相反公式

ガウスの無限積表示

zCz \in \mathbb{C} に対して,ガンマ関数を Γ(z)=limnnzn!z(z+1)(z+2)(z+n) \Gamma(z)= \lim_{n\to\infty} \dfrac{n^zn!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)} と定義することができる。

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ガンマ関数とゼータ関数の解析接続

定理

ガンマ関数とゼータ関数は複素数全体に拡張(解析接続)される。

ガンマ関数とゼータ関数の解析接続は,複素解析の枠を超え,整数論などでも重要となります。

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ラマヌジャンのタクシー数

ラマヌジャンのタクシー数

17291729 は2つの立方数の和として2通りに表される最小の自然数である: 1729=123+13=103+931729=12^3+1^3=10^3+9^3 これを(ラマヌジャンの)タクシー数という。

この記事では,ラマヌジャンのタクシー数を紹介します。

→ ラマヌジャンのタクシー数

素因数の数の評価~京大特色2023

京都大学特色入試2023大問1

22 以上の自然数 nn に対して,nn を割り切る素数の個数を f(n)f(n) とする。例えば n=120n=120 のとき,120120 を割り切る素数は 223355 なので,f(120)=3f(120) = 3 である。不等式 f(n)n2f(n) \geqq \dfrac{\sqrt{n}}{2} を満たす 22 以上の自然数 nn をすべて求めよ。

京大の特色入試の問題を解説します。

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オイラーの定数γの意味と東大の過去問

オイラーの定数

γ=limn(k=1n1klogn) \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \log n \right) オイラーの定数(オイラー・マスケローニ定数)といいます。

1+12+13+14+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots という無限級数(調和級数)は,だいたい logn\log n と同じスピードで発散します。この2つの差の極限がオイラーの定数です。

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線型汎関数と双対ベクトル空間

定義

VV を実ベクトル空間とする。

R\mathbb{R} への線型写像 ϕ:VR\phi : V \to \mathbb{R}線型汎関数という。

線型汎関数の集合を V={ϕ:VRϕ は線型写像} V^{\ast} = \{ \phi : V \to \mathbb{R} \mid \phi \ \text{は線型写像} \} と定める。

VV^{\ast} に和とスカラー倍を以下のように定めると,VV^{\ast} はベクトル空間になる。

  1. (ϕ+ψ)(x)=ϕ(x)+ψ(x)(\phi + \psi) (x) = \phi (x) + \psi (x)
  2. (cϕ)(x)=cϕ(x)(c \phi) (x) = c \phi (x)

VV^{\ast}VV双対ベクトル空間という。

※ 和の単位元は任意の xx00 に送る線型写像である。

※ 複素ベクトル空間に対しても VV から C\mathbb{C} への線型写像の集合を考えれば双対ベクトル空間が得られる。

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ハウスドルフ空間

定理

位相空間 XXハウスドルフ空間であるとは,任意の異なる2点 x,yXx,y \in X に対して,ある開近傍 xUx \in UyVy \in V であり UV=U \cap V = \emptyset となるものが存在することである。 ハウスドルフ空間

この記事では,位相空間論において重要なハウスドルフ空間を解説します。

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正多角形の対角線の長さの偶数乗和と積

定理

nn 角形 A1A2AnA_1A_2\dots A_n が半径 11 の円に内接しているとき,以下の1~4が成立する。

  1. k=2n(A1Ak)2=2n\displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^2=2n
  2. k=2n(A1Ak)=n\displaystyle\prod_{k=2}^n(A_1A_k)=n
  3. k=2n(A1Ak)2m=n×2mCm(n>m>0)\displaystyle\sum_{k=2}^n(A_1A_k)^{2m}=n\times{}_{2m}\mathrm{C}_m\:(n>m>0)
  4. k=2n1(A1Ak)2=n2112\displaystyle\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{(A_1A_k)^2}=\dfrac{n^2-1}{12}

3 で m=1m=1 とすると1になります。

正方形の例で式の意味を確認したあと,1~4を証明していきます。

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ピックの定理

ピックの定理(Pick's theorem)

頂点がすべて格子点上にある多角形の面積は

内側の格子点数+辺上の格子点数÷21÷2-1

ピックの定理の例

ピックの定理は,多角形の面積と格子点の数の間の関係を示す定理です。ピックの定理の意味・例・証明を紹介します。

→ ピックの定理

ディオファントス近似にまつわる入試問題

実数 rr に対して, rpq<1q2\left|r-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^2} を満たす整数 p,qp,q を探すという問題を ディオファントス近似 といいます。

この記事ではディオファントス近似にまつわる入試問題をまとめました。

是非チャレンジしてみてください。

→ ディオファントス近似にまつわる入試問題

東大数学の過去問まとめ

この記事では,東京大学の数学の過去問をまとめています。

※記事内の解答と解説は東京大学が公表したものではなく,当サイトオリジナルのものです。問題は東京大学第2次試験問題からの引用です。

→東大数学の過去問まとめ