高校数学の美しい物語

更新日時 2021/08/07

微分方程式の解法(同次形・線形微分方程式)

微分方程式といえば,偏微分方程式・常微分方程式,さらにはRicatti形やBernoulli形など様々な種類があります。この記事では,常微分方程式のなかでも,同次型の解法と定数係数の線形微分方程式の微分方程式の解法を紹介します。

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ナッシュ均衡

どのプレイヤーも「戦略を変更しないでいることが最も合理的である」ような均衡状態をナッシュ均衡(Nash equilibrium)という。

ナッシュ均衡とは,ゲーム理論における概念です。その定義と具体例,パレート効率性との関係,ナッシュ均衡の存在に関するナッシュの定理を紹介します。

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チューリングマシンの定義とそれに関連する話

チューリングマシンとは

チューリングマシンとは,次の6つの要素の組として定義される,ある規則にしたがって自動で計算を進める数学的なモデルのこと: (Q,Σ,δ,q0,qacc,qrej) (Q, \Sigma, \delta, q_0, q_{\mathrm{acc}}, q_{\mathrm{rej}})

イギリスの数学者アラン・マシスン・チューリング(Alan Mathison Turing)が定式化したチューリングマシン(チューリング機械)について解説します。「計算」とは何であるか,を定義するモデルとして使われており,計算機科学における最も重要な概念の1つです。

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垂足三角形の意味と5つの性質

垂足三角形

三角形について,各頂点から対辺におろした垂線の足がなす三角形を垂足三角形と言う。 垂足三角形の定義

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ハイポサイクロイド(特にデルトイド)の式と面積

ハイポサイクロイドと呼ばれる曲線の媒介変数表示と面積の求め方を紹介します。

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Ky Fanの不等式

Ky Fanの不等式

00 以上 12\dfrac{1}{2} 以下である nn 個の実数 x1,x2,,xnx_1,x_2,\dots,x_n に対して,GGAA\dfrac{G}{G'}\leq\dfrac{A}{A'}

ただし,AAGGxix_i たちの相加平均と相乗平均:

  • A=x1+x2++xnnA=\dfrac{x_1+x_2+\dots +x_n}{n}
  • G=x1x2xnnG=\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}

AA'GG'(1xi)(1-x_i) たちの相加平均と相乗平均:

  • A=(1x1)+(1x2)++(1xn)nA'=\dfrac{(1-x_1)+(1-x_2)+\dots +(1-x_n)}{n}
  • G=(1x1)(1x2)(1xn)nG'=\sqrt[n]{(1-x_1)(1-x_2)\dots (1-x_n)}

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逐次最小二乗法(RLS)

逐次最小二乗法(Recursive Least Squares, RLS)について,問題設定から以下の更新式の導出まで解説します。

逐次最小二乗法における更新式

θundefinedn+1=θundefinedn+Pn+1aundefinedn+1(bn+1aundefinedn+1θundefinedn)\overrightarrow{\theta}_{n+1}\\=\overrightarrow{\theta}_{n}+P_{n+1}\overrightarrow{a}_{n+1}(b_{n+1}-\overrightarrow{a}_{n+1}^{\top}\overrightarrow{\theta}_n)

Pn+1=PnPnaundefinedn+1aundefinedn+1Pn1+aundefinedn+1Pnaundefinedn+1P_{n+1}=P_n-\dfrac{P_n\overrightarrow{a}_{n+1}\overrightarrow{a}_{n+1}^{\top}P_n}{1+\overrightarrow{a}_{n+1}^{\top}P_n\overrightarrow{a}_{n+1}}

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ABC予想の主張の解説

ABC予想

a+b=ca+b=c を満たす互いに素な自然数の組 (a,b,c)(a, b, c) であって,任意の ϵ>0\epsilon > 0 に対して, c>rad(abc)1+ϵ c > \text{rad} (abc)^{1+\epsilon} を満たすものは有限個しか存在しない。

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直角三角形の定義とさまざまな公式

三平方の定理(ピタゴラスの定理)

直角三角形において,a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

つまり「斜辺以外の二辺の長さの二乗の和」は「斜辺の二乗」と等しい。

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確率漸化式の定義と問題例

確率漸化式とは「漸化式を利用して確率を求める」問題の総称です。

この記事では,例題3問を通じて確率漸化式の解き方・考え方を説明します。

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群数列の問題と解き方のコツ

群数列

ある数列を,一定の法則で区切ってグループ分けしたものを群数列と呼ぶ。

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三角方程式の解き方

三角方程式

三角方程式とは,

cosθ=22\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

ような三角関数を含む方程式のことです。

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指数方程式の解き方

指数方程式とは,指数関数が含まれるような方程式のことをいいます。

指数方程式の例

3x=273^{x}=27

を満たす xx を求めよ。

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指数不等式の解法

指数不等式とは,未知数を指数に持つ指数関数が含まれている不等式のことです。

指数不等式の例

2x<242^{x}<2^{4}

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媒介変数表示

媒介変数表示とは,「関連する変数同士の関係を他の変数を用いて表すこと」です。

変数同士を繋ぎ,関係を作っている変数を,媒介変数またはパラメータと呼びます。媒介変数としては θ,t\theta,t などがよく使われます。

媒介変数表示をパラメータ表示と呼ぶこともあります。

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微分係数の定義

y=f(x)y=f(x)xx の値が aa から bb に変化するときの平均変化率

f(b)f(a)ba\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

において bb を限りなく aa に近づけたときの値を,関数 y=f(x)y=f(x)x=ax=a における微分係数といいます。

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ガウスの発散定理・ストークスの定理の証明

ガウスの発散定理(英:Divergence Theorem) SAndS=VAdV \int_S \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} dS = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{A} dV ストークスの定理(英:Stokes’ Theorem) CAdr=S(×A)ndS \oint_C \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S \left(\nabla \times \boldsymbol{A}\right) \cdot \boldsymbol{n} dS

ベクトル解析の有名な公式「ガウスの発散定理」「ストークスの定理」を導出します。物理でよく使われる公式です。

ガウスの発散定理とストークスの定理は証明の構造がとても似ています。

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テンソルとは何か Part.1

「テンソル」という言葉には,

  1. 代数学における「ベクトル空間のテンソル積」
  2. 物理や微分幾何における「テンソル場」
  3. その他,数の高次元配列としてのテンソルなど

といった,さまざまな意味がある。

この記事はPart.1として1. 線形代数における「ベクトル空間のテンソル積」について説明します。

→テンソルとは何か Part.1

テンソルとは何か Part.2

「テンソル」という言葉には,

  1. 代数学における「ベクトル空間のテンソル積」
  2. 物理や微分幾何における「テンソル場」
  3. その他,数の高次元配列としてのテンソルなど

といった,さまざまな意味がある。

この記事ではPart.2として「テンソル積における基底変換」と物理や微分幾何における「テンソル場」について説明します。

→テンソルとは何か Part.2

交代行列の定義と性質

交代行列の定義

正方行列 AA が, AT=AA^T = -A を満たすとき,AA を「交代行列反対称行列歪対称行列,英:alternating matrix, antisymmetric matrix, skew symmetric matrix)」と呼ぶ。

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積分方程式の解き方

求めたい関数が被積分関数として現れるような方程式を,積分方程式といいます。この記事では,高校数学で登場する積分方程式の解き方について,例題7問でしっかり解説します。

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ナビエ-ストークス方程式の導出

ナビエ-ストークス方程式

ρ{vt+(v)v}=p+μ2v+ρf \rho \left\{\dfrac{\partial{\boldsymbol{v}}}{\partial{t}} + \left(\boldsymbol{v} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{v}\right\} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \rho \boldsymbol{f}

ナビエ-ストークス方程式(英語でNavier–Stokes equations,略してNS方程式とも呼ばれます)は,古典力学における「運動方程式」を流体力学的に書き直したものです。これの導出について説明します。また,ナビエストークス方程式の一般解が存在するかどうかは,数学的に解明されていません。これについても少し触れます。

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ベクトル空間と次元

足し算とスカラー倍ができるような代数系をベクトル空間(線型空間)という。

高校までの「ベクトル」の概念を一般化した代数的構造がベクトル空間(線型空間)です。これにより,数列や関数なども「ベクトル」だと考えられるようになります。

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BSD予想の主張の解説

BSD予想 (バーチ・スウィンナートン=ダイアー予想)

楕円曲線 EE の階数は,EELL 関数 L(s,E)L(s, E)s=1s=1 における零点の位数に等しい。

ミレニアム懸賞問題とは,100万ドルの懸賞金がかけられている,数学における重要な7つの難問です。

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環の定義とその具体例

足し算とかけ算ができるような代数系を環(かん)という。

整数や有理数,多項式,行列などの「和」と「積」をもつような対象を抽象化した概念をといいます。

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ポアンカレ予想の主張の解説

ポアンカレ予想

単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。

ミレニアム懸賞問題とは,100万ドルの懸賞金がかけられている,数学における重要な7つの難問です。

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東大数学の過去問まとめ

この記事では,東京大学の数学の過去問をまとめています。

※記事内の解答と解説は東京大学が公表したものではなく,当サイトオリジナルのものです。問題は東京大学第2次試験問題からの引用です。

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