高校数学の美しい物語

群 $G$ の元の個数を $|G|$ と書き，$G$ の位数という。

群 $G$ の元 $x$ に対して $x^n = 1_G$ となる最小の $n$ を $x$ の位数という。

ただし $1_G$ は $G$ の単位元とする。

なお，位数は無限になることもある。

$k$ 次多項式 $P(x)$ について，

$P(x)$ が整数値多項式
$\iff$ ある整数 $a_0,...,a_k$ が存在して $P(x)=\displaystyle\sum_{t=0}^k a_tc_t(x)$

ただし， $$c_t(x)=\dfrac{x(x-1)(x-2)\cdots(x-t+1)}{t!}$$ である。

• $\left(\dfrac{n}{k}\right)^k\leqq {}_n\mathrm{C}_k\leqq\left( \dfrac{n}{k}e\right)^k$

• $\dfrac{1}{n+1}2^{nH(\frac{k}{n})}\leqq{}_n\mathrm{C}_k\leqq2^{nH(\frac{k}{n})}$

位相空間 $X$ が以下を満たすとき $X$ はコンパクトまたはコンパクト空間であるという：

$X$ の任意の開被覆に対して有限部分被覆が存在する。

• 大きい三角形 $ABC$ がある。
• この三角形の周または内部にいくつかの点があり，小さい三角形たちに分割されている。
• 頂点 $A,B,C$ および各点は赤・青・緑のいずれかで塗られている。ただし以下を満たす：
  • $A,B,C$ は異なる色
  • 辺 $AB$ 上の点は $A$ または $B$ と同じ色
  • 辺 $BC$ 上の点は $B$ または $C$ と同じ色
  • 辺 $CA$ 上の点は $C$ または $A$ と同じ色

このとき，$3$ つの頂点の色が相異なるような小さい三角形が存在する。

$n$ 次元球 $B^n$ から $B^n$ への連続関数 $f$ には必ず不動点が存在する。つまり，ある $\overrightarrow{x}\in B^n$ が存在して $f(\overrightarrow{x})=\overrightarrow{x}$

極方程式 $r=a\theta$ で表される曲線をアルキメデスの螺旋と呼ぶ。

$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{b}$ を満たす $\overrightarrow{x}$ の中で $\|\overrightarrow{x}\|_2$ を最小にする解 $\overrightarrow{x_*}$ がただ1つ存在し， $$\overrightarrow{x_*} = A^{\top} (AA^{\top})^{-1}\overrightarrow{b}$$ ただし，$A$ は行ベクトルが線形独立な $m\times n$ 行列，$\overrightarrow{x}$ は $n$ 次元ベクトル，$\overrightarrow{b}$ は $m$ 次元ベクトルとする。

各面が平行四辺形である六面体のことを平行六面体と呼ぶ。

四面体 $ABCD$ において，以下は同値：

1. $AB\perp CD$，$AC\perp BD$

2. $AB\perp CD$，$AC\perp BD$，$AD\perp BC$

3. 四面体 $ABCD$ に垂心が存在する（頂点から対面におろした4本の垂線が1点で交わる）。

4. $AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2$

5. 対辺の中点同士を結ぶ3本の線分の長さが等しい

直辺四面体において，各面の「九点円の定理」に登場する9点は合計24点あり，それらは同一球面上にある。

最高次の係数が $1$ である $n$ 次関数 $$P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0$$

の中で，$x$ 軸に $[-1,1]$ で最も「近い」もの。つまり $$\displaystyle\max_{-1\leqq x\leqq 1}|P(x)|$$ を最小にするものはただ一つ存在し，それはチェビシェフ多項式 $T_n(x)$ の定数倍 $\dfrac{1}{2^{n-1}}T_n(x)$ である。

区間 $[a,b]$ 上で定義された（$n$ 次以下の多項式ではない）連続関数 $f(x)$ を考える。このとき，$f(x)$ に最も「近い」$n$ 次以下の多項式がただ1つ存在し，それは以下の条件を満たす。

条件：$f(x)$ に最も「遠い」 $n+2$ 点からなる交代点列が存在する。つまり, 相異なる $n+2$ 点 $x_1 < x_2 < \cdots < x_{n+2}$ が存在して，

• $k=1,...,n+2$ に対して $$|f(x_k)-P(x_k)|=\max_{a\leqq x\leqq b}|f(x)-P(x)|$$ を満たす，かつ
• $f(x_k)-P(x_k)$ の符号が交代的（$k=1$ から $k=n+2$ までプラスとマイナスが交互）

$$\int_0^{\infty} \dfrac{\sin x}{x} dx = \dfrac{\pi}{2}$$

$f$ が $[a,b] \times [c,d]$ 上で可積分な連続関数なら，以下の式が成り立つ。

$$\begin{aligned} &\int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) dy \right) dx\\ &= \int_{[a,b] \times [c,d]} f(x,y) dxdy\\ &= \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) dx \right) dy \end{aligned}$$

つまり逐次積分と重積分は一致する（積分の順序を交換できる）。

• 順像法（順手流・順手法・自然流）
  変数を1つ固定し，他の変数に応じて図形がどのように動くか調べる。

• 逆像法（逆手流・逆手法）
  各点 $(x,y)$ に対して図形が通過するかどうか調べる。（存在条件を調べる）

複素数 $\omega_1 , \omega_2$ は $\dfrac{\omega_1}{\omega_2} \notin \mathbb{R}$ を満たすとする。

格子 $\Lambda = \{ n \omega_1 + m \omega_2 : n,m \in \mathbb{Z} \}$ に対する ワイエルシュトラスのペー関数（楕円関数）を $$\wp (z) = \dfrac{1}{z^2} + \sum_{\omega \in \Lambda \backslash \{0\}} \left( \dfrac{1}{(z-\omega)^2} - \dfrac{1}{\omega^2} \right)$$ と定める。

数列 $\{ a_n \}$，$\{ b_n \}$ について，次のどちらかを満たすとする。

1. $\{ b_n \}$ は単調増加（もしくは単調減少）で $\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \pm\infty$
2. $\{ b_n \}$ は単調増加（もしくは単調減少）で $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 0$

このとき，極限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}$ が存在すれば， $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}}$$ である。

$$\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1- \dfrac{z^2}{n^2} \right)$$