2. 高校数学の美しい物語

高校数学の美しい物語

更新日時 2021/06/10
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ガウスの発散定理・ストークスの定理の証明

ガウスの発散定理（英：Divergence Theorem） ∫SA⋅ndS=∫V∇⋅AdV \int_S \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} dS = \int_V \nabla \cdot \boldsymbol{A} dV ストークスの定理（英：Stokes’ Theorem） ∮CA⋅dr=∫S(∇×A)⋅ndS \oint_C \boldsymbol{A} \cdot d\boldsymbol{r} = \int_S \left(\nabla \times \boldsymbol{A}\right) \cdot \boldsymbol{n} dS

ベクトル解析の有名な公式「ガウスの発散定理」「ストークスの定理」を導出します。物理でよく使われる公式です。

ガウスの発散定理とストークスの定理は証明の構造がとても似ています。

→ガウスの発散定理・ストークスの定理の証明

テンソルとは何か Part.1

「テンソル」という言葉には，

  1. 代数学における「ベクトル空間のテンソル積」
  2. 物理や微分幾何における「テンソル場」
  3. その他，数の高次元配列としてのテンソルなど

といった，さまざまな意味がある。

（関係しているが）異なる概念に対して同じような名前がついていることによって，「テンソル」を学ぶ際には混乱することが多いです。

この記事はPart.1として1. 線形代数における「ベクトル空間のテンソル積」について説明します。

Part.2以降では

  1. 物理や微分幾何における「テンソル場」，
  2. その他，数の高次元配列としてのテンソルなど

の意味と，代数学におけるテンソル積との関係について説明していきます。

→テンソルとは何か Part.1

ナビエ-ストークス方程式の導出

ナビエ-ストークス方程式

ρ{∂v∂t+(v⋅∇)v}=−∇p+μ∇2v+ρf \rho \left\{\dfrac{\partial{\boldsymbol{v}}}{\partial{t}} + \left(\boldsymbol{v} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{v}\right\} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \rho \boldsymbol{f}

ナビエ-ストークス方程式（英語でNavier–Stokes equations，略してNS方程式とも呼ばれます）は，古典力学における「運動方程式」を流体力学的に書き直したものです。これの導出について説明します。また，ナビエストークス方程式の一般解が存在するかどうかは，数学的に解明されていません。これについても少し触れます。

→ナビエ-ストークス方程式の導出

ポアンカレ予想の主張の解説

ポアンカレ予想

単連結な3次元閉多様体は3次元球面に同相である。

ミレニアム懸賞問題とは，100万ドルの懸賞金がかけられている，数学における重要な7つの難問です。→ミレニアム懸賞問題の概要と大雑把な説明

このページでは，7つのうち唯一解決されている問題である，ポアンカレ予想についてざっくりと説明します。

→ポアンカレ予想の主張の解説

東大数学の過去問まとめ

この記事では，東京大学の数学の過去問をまとめています。

※記事内の解答と解説は東京大学が公表したものではなく，当サイトオリジナルのものです。問題は東京大学第２次試験問題からの引用です。

→東大数学の過去問まとめ

原始ピタゴラス数の木

定理：

すべての原始ピタゴラス数は，(345)\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix} に対して，3つの行列 A,B,CA,B,C のどれかをかける操作を何度か繰り返すことで作れる。ただし，

A=(1−222−122−23)A=\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix} ，

B=(122212223)B=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix} ，C=(−122−212−223)C=\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}

ピタゴラス数に関する非常におもしろい定理です。この定理の主張と証明を詳しく解説します。

→原始ピタゴラス数の木

数列における余りの周期性（特にフィボナッチ数列）

数列における余りの周期性について，以下の2つの話題を紹介します。

  • 漸化式で表される数列における，割り算の余りの周期性（受験レベル）

  • 特に，フィボナッチ数列における周期について（難しい）

→数列における余りの周期性（特にフィボナッチ数列）

超幾何級数の定義と例

この記事では，超幾何級数について紹介します。いくつか例を見ながら，超幾何級数に慣れ親しみましょう。

→超幾何級数の定義と例

Popoviciu の不等式

Popoviciu の不等式：

f(x)f(x) が下に凸な関数のとき，任意の x,y,zx,y,z に対して(※)，

f(x)+f(y)+f(z)+3f(x+y+z3)≥2{f(x+y2)+f(y+z2)+f(z+x2)}f(x)+f(y)+f(z)+3f\left(\dfrac{x+y+z}{3}\right)\\ \geq 2\left\{f\left(\dfrac{x+y}{2}\right)+f\left(\dfrac{y+z}{2}\right)+f\left(\dfrac{z+x}{2}\right)\right\}

※より厳密に言うと「 ff は区間 I⊆RI\subseteq\mathbb{R} から R\mathbb{R} への関数で，x,y,zx,y,z は区間 II に含まれる任意の実数」

この記事では，Popoviciu の不等式の意味と，2通りの証明を紹介します。

→Popoviciu の不等式

Hlawka’s Inequality とその証明

Hlawka’s Inequality：

任意の複素数 x, y, zx,\:y,\:z に対して，

∣x∣+∣y∣+∣z∣+∣x+y+z∣|x|+|y|+|z|+|x+y+z|

≥∣x+y∣+∣y+z∣+∣z+x∣\geq |x+y|+|y+z|+|z+x|

Hlawka’s Inequality（フラカの不等式）について紹介します。

→Hlawka’s Inequality とその証明

極座標における回転体の体積公式

極座標における回転体の体積公式

極座標平面において，図のように θ=α, θ=β, r=r(θ)\theta=\alpha,\:\theta=\beta,\:r=r(\theta) で囲まれた，xx 軸の上側にある図形を DD とする。 DD を xx 軸(始線)の回りに回転させてできる立体の体積は，

23π∫αβr(θ)3sin⁡θdθ\dfrac{2}{3}\pi\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r(\theta)^3\sin\theta d\theta

極座標における回転体の体積公式について，例題と証明方法などを紹介します。

→極座標における回転体の体積公式

等周問題に関連する高校数学の問題

周の長さが一定である図形の中で，面積が最大のものは円です。（等周定理）

等周定理の厳密な証明は少し大変なので，ここでは等周定理に関連して 「対称性が高い図形は面積が大きい」というテーマで，高校数学で分かる性質をいくつか紹介します。

→等周問題に関連する高校数学の問題

Look-and-say sequence（見て言って数列）

この記事では，以下のような数列について考えます。

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …\dots

面白い性質と規則性を持った数列です。

→Look-and-say sequence（見て言って数列）

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