高校数学の美しい物語

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高校数学の美しい物語 新版
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超ディープな数学の教科書 学校では教えてくれない
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学校では絶対に教えてもらえない超ディープな算数の教科書
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arcsin・arccos のマクローリン展開

arcsin・arccos のマクローリン展開

x<1|x| < 1 なる実数 xx について,

arcsinx=x+16x3+340x5+arccosx=π2x16x3340x5\begin{aligned} \arcsin x &= x + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{3}{40} x^5 + \cdots\\ \arccos x &= \dfrac{\pi}{2} - x - \dfrac{1}{6} x^3 - \dfrac{3}{40} x^5 - \cdots \end{aligned}

となる。

この記事では逆三角関数のうち逆正弦関数(arcsin\arcsin)と逆余弦関数(arccos\arccos)のマクローリン展開を計算します。

→ arcsin・arccos のマクローリン展開

ウォルステンホルムの定理

ウォルステンホルムの定理

55 以上の任意の素数 pp に対して, 11+12+13++1p1\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots +\dfrac{1}{p-1} を既約分数で表したときの分子は p2p^2 の倍数。

→ ウォルステンホルムの定理

リー群入門~定義と線型リー群の例

定義

GGリー群であるとは,次の2条件を満たすことをいう。

  1. GG は多様体である。
  2. GG の演算(積および逆元を取る操作)は多様体の CC^{\infty} 級写像になる。

この記事ではリー群・リー環(リー代数)の入門として,定義と例を紹介します。

→ リー群入門~定義と線型リー群の例

シローの定理とその応用

シローの定理(の一部)

有限群 GG について,その位数を G=pkm|G|=p^km とする(ただし pp は素数で,mmpp の倍数でないとする)。

このとき,GG の部分群で位数が pkp^k であるものが存在する。

GG の部分群で位数が pkp^k であるもののことを pp-シロー部分群と呼びます。

シローの定理(Sylow theorems)の主張とおもしろい応用例をわかりやすく紹介します。有限群論の有名な定理です。

→ シローの定理とその応用

線型写像とその例~行列・一次変換など

この記事では,線型写像について詳しく解説します。

高校数学でも登場する「線形性」に関するより深い話です。

線型写像

V,WV,WKK 上のベクトル空間とする。(KK は体,例えば R\mathbb{R}C\mathbb{C} など)

写像 p:VWp: V \to W

  1. ϕ(v1+v2)=ϕ(v1)+ϕ(v2)\phi (v_1 + v_2) = \phi (v_1) + \phi (v_2)v1,v2Vv_1 , v_2 \in V
  2. ϕ(cv)=cϕ(v)\phi (cv) = c \phi (v)aKa \in KvVv \in V

を満たすとき ϕ\phi線型写像(線型変換)という。

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ベンフォードの法則と京大数学2024

ベンフォードの法則

多くの状況で自然数の最初の桁(最高位)に現れる数は一様に分布しない。

具体的に n (=1,2,,9)n \ (= 1,2, \dots , 9) の出てくる確率 PnP_nPn=log10n+1n P_n = \log_{10} \dfrac{n+1}{n} に近いことが多い。

P1>P2>P3>>P9P_1>P_2>P_3>\cdots>P_9 です。「最初の桁は小さくなりがち」という法則です。

→ ベンフォードの法則と京大数学2024

岩澤分解

岩澤分解

正則な 2×22 \times 2 行列は,回転行列・対角行列・(対角成分が 11 である)上三角行列の積,つまり (cosθsinθsinθcosθ)(x00y)(1t01) \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x &0\\ 0 &y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t\\ 0&1 \end{pmatrix} という形に分解できる。

→ 岩澤分解

ねじれの位置にある2直線に関する問題

問題(大阪大学2024)

空間内の2直線 l,ml,m はねじれの位置にあるとする。llmm に直交する直線がただ1つ存在することを示せ。

この記事では話題になった大阪大学の入試問題を解説します。

→ ねじれの位置にある2直線に関する問題~大阪大学2024

3次関数の極大値と極小値の差をすばやく計算するテクニック

定理

f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+d が極大値と極小値を持つとき,その差は a(βα)32\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{2} である。ただし,α,β(α<β)\alpha,\beta\:(\alpha<\beta)f(x)=0f'(x)=0 の解。

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行列の最小多項式

定義

行列 AA の最小多項式とは,最高次数の係数が 11 の多項式 ff であって f(A)=Of (A) = O となるもののうち次数が一番小さいものである。

この記事では,線形代数においてとても重要な最小多項式について解説します。

→ 行列の最小多項式

正七角形の対角線の性質

定理

正七角形の対角線の長さを短い順に a,b,ca,b,c とすると, 1a=1b+1c \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} が成立する。

pic

この記事では正七角形について,シンプルで美しい等式とその証明を紹介します。

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レルヒの公式

レルヒの公式

exp(sζ(s,x) s=0)=Γ(x)2π \exp \left( \left. \dfrac{\partial}{\partial s} \zeta(s,x) \ \right|_{s=0} \right) =\frac{\Gamma (x)}{\sqrt{2\pi}}

ただし,ζ(s,x)\zeta (s,x) はフルヴィッツのゼータ関数 ζ(s,x)=n=01(n+x)s \zeta (s,x) =\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{(n+x)^s} である。(s>1,x>0)(s>1 , x> 0)

ゼータ関数とガンマ関数が交じり合う美しい公式「レルヒの公式」を証明します。

→ レルヒの公式

ガンマ関数の無限積表示と相反公式

ガウスの無限積表示

zCz \in \mathbb{C} に対して,ガンマ関数を Γ(z)=limnnzn!z(z+1)(z+2)(z+n) \Gamma(z)= \lim_{n\to\infty} \dfrac{n^zn!}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)} と定義することができる。

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ラマヌジャンのタクシー数

ラマヌジャンのタクシー数

17291729 は2つの立方数の和として2通りに表される最小の自然数である: 1729=123+13=103+931729=12^3+1^3=10^3+9^3 これを(ラマヌジャンの)タクシー数という。

この記事では,ラマヌジャンのタクシー数を紹介します。

→ ラマヌジャンのタクシー数

素因数の数の評価~京大特色2023

京都大学特色入試2023大問1

22 以上の自然数 nn に対して,nn を割り切る素数の個数を f(n)f(n) とする。例えば n=120n=120 のとき,120120 を割り切る素数は 223355 なので,f(120)=3f(120) = 3 である。不等式 f(n)n2f(n) \geqq \dfrac{\sqrt{n}}{2} を満たす 22 以上の自然数 nn をすべて求めよ。

京大の特色入試の問題を解説します。

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オイラーの定数γの意味と東大の過去問

オイラーの定数

γ=limn(k=1n1klogn) \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \log n \right) オイラーの定数(オイラー・マスケローニ定数)といいます。

1+12+13+14+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots という無限級数(調和級数)は,だいたい logn\log n と同じスピードで発散します。この2つの差の極限がオイラーの定数です。

→ オイラーの定数γの意味と東大の過去問

ピックの定理

ピックの定理(Pick's theorem)

頂点がすべて格子点上にある多角形の面積は

内側の格子点数+辺上の格子点数÷21÷2-1

ピックの定理の例

ピックの定理は,多角形の面積と格子点の数の間の関係を示す定理です。ピックの定理の意味・例・証明を紹介します。

→ ピックの定理

東大数学の過去問まとめ

この記事では,東京大学の数学の過去問をまとめています。

※記事内の解答と解説は東京大学が公表したものではなく,当サイトオリジナルのものです。問題は東京大学第2次試験問題からの引用です。

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