シローの定理とその応用

位数が $15$ の群 $G$ について考える。

$G$ の $3$-シロー部分群と $5$-シロー部分群を $P_3,P_5$ とおく。

位数が素数の群は巡回群である（※1）。よって，ある $g_1,g_2\in G$ が存在して

$P_3=\{g_1,g_1^2,g_1^3(=e)\}$

$P_5=\{g_2,g_2^2,g_2^3,g_2^4,g_2^5(=e)\}$

と表せる（$e$ は $G$ の単位元）。

$(g_1g_2)^k$ という形の元（$k=1,2,3,...,15$）はいずれも $G$ の要素だがすべて異なる（※2）ので全体で $G$ と一致する。つまり，$G$ は $g_1g_2$ を生成元とする位数15の巡回群である。

$(g_1g_2)^{k_1}=(g_1g_2)^{k_2}$ と仮定する（$1\leqq k_2<k_1\leqq 15$）。

$(g_1g_2)^{k_1-k_2}=e$

$g_1g_2=g_2g_1$（※3）より，$k_1-k_2$ を3で割った余りを $r_1$，5で割った余りを $r_2$ とおくと，

$g_1^{r_1}g_2^{r_2}=e$

$g_1^{r_1}=g_2^{5-r_2}$

• 両辺3乗すると $e=g_2^{15-3r_2}$ なので $15-3r_2$ が5の倍数より $r_2=0$
• 両辺5乗すると $g_1^{5r_1}=e$ なので $5r_1$ が3の倍数より $r_1=0$

つまり $k_1-k_2$ は15の倍数なので矛盾。

最後に $g_1g_2=g_2g_1$ の証明です。

まず，$P_3,P_5$ が正規部分群であることを示す。
シローの定理の3より，$3$-シロー部分群の個数を $n_3$ とすると， $n_3-1$ は $3$ の倍数である。また，シローの定理の4より $n_3$ は $15$ の約数である。以上2つの条件より $n_3=1$ である。その唯一の $3$-シロー部分群が $P_3$ であるが，シローの定理の4より $|N_G(P_3)|=|G|$ である。つまり任意の $g\in G$ に対して $gP_3=P_3g$ なので $P_3$ は $G$ の正規部分群である。$P_5$ についても全く同様である。

次に，$g_2^{-1}g_1g_2g_1^{-1}\in P_3\cap P_5$ を示す。
$P_3$ は正規部分群より，$(g_2^{-1}g_1g_2)g_1^{-1}\in P_3$
同様に $P_5$ は正規部分群より $g_2^{-1}(g_1g_2g_1^{-1})\in P_5$

最後に，$P_3,P_5$ の共通元が $e$ のみであることを示す（そうすれば $g_2^{-1}g_1g_2g_1^{-1}=e$ より $g_1g_2=g_2g_1$ がわかる）。
$P_3$ と $P_5$ の共通元を $g'=g_1^{m_1}=g_2^{m_2}$ とすると，右側の等式の両辺を3乗して $e=g_2^{3m_2}$ より $m_2$ は5の倍数となり共通元は $g'=g_2^{m_2}=e$ となる。