正規部分群と剰余群（商群）

$gN=Ng$ を示す。そのために，$gN\subset Ng$ を示す（同様に $Ng\subset gN$ もわかる）。

$x\in gN$ なら，ある $n\in N$ が存在して $x=gn$ となる。つまり $xg^{-1}=gng^{-1}$ となるが，$N$ は正規部分群より $xg^{-1}=n'$ となる $n'\in N$ が存在。つまり $x=n'g$ となる $n'$ が存在。よって $x\in Ng$

よって $$\begin{aligned} G / N &= \{ g N \mid g\in G \}\\ &= \{ N g \mid g\in G \}\\ &= N \backslash G \end{aligned}$$

• 積 $\times$ の定義が well-defined であることを示す。つまり，代表元 $g,g'$ の選び方によらず $gN\times g'N$ は同じ集合になることを示す。つまり，$g_1N=g_2N$ かつ $g'_1N=g'_2N$ なら $(g_1\cdot g_2)N=(g_1'\cdot g_2')N$ を示せばよい。これは，以下のようにわかる。
  $(g_1\cdot g_2)N\subset(g_1'\cdot g_2')N$ を示す（逆も同様）。 $x\in g_1g_2N$ なら，ある $n,n_1,n_2\in N$ が存在して $x=g_1g_2n=g_1'n_1g_2'n_2n=g_1'g_2'(g_2'^{-1}n_1g_2')n_2n\in g_1'g_2'N$

• $G/N$ は $\times$ に関して群になることを示す。実際，群の公理を満たすことは簡単に確認できる。

  • 結合則は，$G$ の結合則からわかる。
  • 単位元は $eN$ になる。ただし $G$ の単位元を $e$ とした。
  • $gN$ の逆元は $g^{-1}N$ になる。

任意の $g \in G$ に対して $g H g^{-1} = H$ を示せばよい。$g \in H$ であれば明らかであるため，$g \in G - H$（$H$ の元ではない $G$ の元）で考える。

ここで剰余類 $G/H$ を考えよう。

指数2であるため，$G/H$ は，2つの元からなる。一方は，単位元の剰余類 $eH$ である、もう一方は $gH$ と表される剰余類である。

ゆえに $G = H \sqcup gH$ である。（$\sqcup$ は共通部分が空である和）同様に $H \backslash G$ で考えることで $G = H \sqcup Hg$ である。

よって，$Hg = gH$ であることが従う。

こうして $g \in G - H$について $g H g^{-1} = H$ であることが分かる。

以上より任意の $g \in G$ に対して $g H g^{-1} = H$ であるため，$H$ は正規部分群である。

1. 部分群とその具体例 で述べたように $HN = NH$ であることを示せば十分である。
   $h \in N$，$k \in H$ とすると $$hk = k k^{-1} h k$$ である。$N$ は正規部分群であるため $k^{-1} h k \in N$ であって，$NH = HN$ を得る。

2. 部分群とその具体例 で $N \cap H$ が部分群になることは示した。正規性を示す。
   $k \in H$ を任意に取る。 $$k^{-1} (N \cap H) k \subset k^{-1} H k \subset H\\$$ である。また $k \in G$ でもあるため，$N$ の正規性から $$k^{-1} (N \cap H) k \subset k^{-1} N k \subset N\\$$ である。よって $k^{-1} (N \cap H) k \subset N \cap H$ である。

$gK \in G/K$，$hN \in N/K$ を任意に取る。

$$\begin{aligned} (gK)^{-1} hK gK &= K g^{-1} h (gg^{-1})K gK\\ &= K (g^{-1} hg) K\\ &= (g^{-1} hg) K\\ &\in N/K \end{aligned}$$ より正規部分群であることが従う。

$g \in \mathfrak{S}_n$（一般の $n$ でOK）を取る。

$\mathfrak{S}_n$ の元は互換（$(pq)$ の形をした元）の積で表されるため，$(pq)^{-1} g (pq)$ を考えればよい。

$(pq)^{-1} g (pq)$ は $g$ に現れる $p$ を $q$ に，$q$ を $p$ に変えた元になる。

よって $h \in H$ に対して $(pq)^{-1} h (pq) \in H$ となる。

$\{ (13)(24) \}^{-1} (12)(34) \{ (13)(24) \}$ は $(12)(34)$ の $1$ と $3$ を，$2$ と $4$ を入れ替えたものである。

つまり $(34)(12) = (12)(34)$ である。

$(14)(23)$ についても同様。

$(13)^{-1} (12)(34) (13) = (23)(14) \notin K$