群論有名問題～指数有限の部分群は指数有限の正規部分群を持つ

1. $G$ から $\mathfrak{S}_n$ への写像の定義

$H$ は指数有限の部分群であるため，剰余類の集合 $\{ g H \mid g \in G \}$ は有限集合である。この集合の個数を $n$ とおく。剰余類の集合を $$\{ g_1 H , g_2 H , \cdots , g_n H \}$$ と書くことにする。このうち1つは $H$ そのものなので $g_n H = H$ とします。

$g$ を $G$ の元としたとき，$g g_i H$ もまた剰余類になる。

よって，任意の $i \ (1 \le i \le n)$ に対して，ある $j$ があって $gg_i H = g_j H$ とできる。

$\phi : G \to \mathfrak{S}_n$ を，$g$ に対して上記のように $j = \sigma (i)$ を満たす $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ を対応させる写像とする。

2. $\phi$ は準同型であること

$\phi$ は準同型になる。

実際，$\phi (g) = \sigma$，$\phi (g') = \sigma'$ とすると， $$g'gg_i H = g' g_{\sigma(i)}H = g_{\sigma' (\sigma (i))} H$$ より $\phi (g'g) = \sigma' \sigma = \phi (g') \phi(g)$ である。

3. $\ker \phi$ について

$\ker \phi$ は正規部分群になる。→ 群の準同型と準同型定理

また，$\ker \phi$ は $H$ の部分集合になる。

実際，$g \in \ker \phi$ は $g g_n H = g_nH$ を満たす。$g_n H = H$ であったため，$gH = H$ を満たす。このとき，ある $h,h' \in H$ があり，$g h =h'$ であるため $g = h h^{-1} \in H$ である。

よって $\ker \phi \subset H$ となる。

4. 準同型定理の利用と最終結論

さて，準同型定理により $G / \ker (\phi) = \mathrm{Im} \ \phi$ である。

$\mathrm{Im} \ \phi \subset \mathfrak{S}_n$ より $|\mathrm{Im} \ \phi| < \infty$ である。よって $\ker \phi$ は指数有限の部分群である。

ステップ3と合わせることで，$H$ は指数有限の正規部分群 $\ker \phi$ を含むことがわかる。つまり，$H$ は指数有限の正規部分群を含む。