写像・単射・全射

集合 $A,B$ がある。任意の $a \in A$ に対して，$B$ の要素を1つ返すような対応 $f$ を $A$ から $B$ への 写像 という。またこのとき $$f : A \rightarrow B$$ と書くことがある。

• $X\subset A$ に対して，$X$ の像 $f(X)$ を以下で定義する：
  $f(X) := \{ f(x) \in B \mid x \in X\}$

• $Y\subset B$ に対して，$Y$ の逆像 $f^{-1}(Y)$ を以下で定義する：
  $f^{-1} (Y):= \{ x \in A \mid f(x) \in Y\}$

写像 $f:A \rightarrow B$ について考える。

• $x,y \in A$ とする。$f(x) = f(y) \Rightarrow x=y$ であるとき，$f$ は 単射 であるという。

• 任意の $y \in B$ に対して，ある $x \in A$ があって $f(x) = y$ となるとき，$f$ は 全射 であるという。

• 写像 $f$ が単射かつ全射であるとき，$f$ を 全単射 であるという。このとき，$A$ と $B$ は 1対1に対応する という。

1. 写像 $f: A \rightarrow A$ が，任意の $a \in A$ に対して $f(a) = a$ を満たすとき，$f$ を 恒等写像 という。このとき $f = \mathbb{id}_A$ と書くことがある。

2. 写像 $f:A\rightarrow B$ に対して，写像 $g :B \rightarrow A$ で $g \circ f = \mathbb{id}_A , f \circ g = \mathbb{id}_B$ なるものが存在するとき，$g$ を $f$ の 逆写像 という。このとき $g = f^{-1}$ と書く。