シグモイド関数の意味と簡単な性質

シグモイド関数 $f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-ax}}\: (a > 0)$ のグラフは，以下のようになります。

$a$ が大きいほどカーブが急激になり，$a$ が $0$ に近いほどなだらかな曲線になります。

シグモイド関数には以下の性質があります。

それぞれ簡単な計算で確認できます。実際，グラフを見てみると1～4が成り立っていますね。

つまり，シグモイド関数の微分は，シグモイド関数そのもの $f(x)$ を使って簡単に表せます。

• シグモイド関数は $\tanh$ を用いて表すこともできます： $$\dfrac{1}{1+e^{-ax}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{2e^{\frac{1}{2}ax}}{e^{\frac{1}{2}ax}+e^{-\frac{1}{2}ax}} =\dfrac{1}{2}(1+\tanh(\frac{1}{2}ax))$$

• ただし，$\tanh$ はハイパボリックタンジェントと読み，定義は $$\tanh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$$ です。→双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の意味・性質・楽しい話題まとめ）

ここからはシグモイド関数の応用の話です。

シグモイド関数には 不連続だがよく使う関数をなめらかな関数で近似するという役割があります。

例えば，工学的に重要な関数としてステップ関数，符号関数があります：

• （単位）ステップ関数 $u(x)=\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} 0\:\:(x <0)\\ 1\:\:(x \geq 0) \end{array} \right. \end{aligned}$

• 符号関数 $\mathrm{sgn}(x)=\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} 1\:\:(x > 0)\\ 0\:\:(x = 0)\\ -1\:\:(x <0) \end{array} \right. \end{aligned}$

スイッチの切り替えを表現したり，いかにも使いそうな関数です。

ステップ関数や符号関数のように不連続な関数は扱いにくいことがあるので連続関数で近似したくなります。場合によっては微分可能であって欲しいこともあります。

• そこで，折れ線でつなぐことで「ステップ関数っぽい連続関数」（赤）を作ることができます。
• さらに，シグモイド関数を使うことで「ステップ関数っぽいなめらかな関数」（緑）を作ることができます。

符号関数も同様にシグモイド関数を2倍して1を引いたもの（$=\tanh$ ）を使うことで「符号関数っぽいなめらかな関数」が作れます。

また，シグモイド関数の $a$ が大きいほどよい近似になります。そして，なめらかな関数で近似する方法はたくさんありますが，シグモイド関数は数式も扱いやすい（例えば導関数をもとの関数で表せる）のでよく使われています。

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