ネイピア数eが無理数であることの証明

$e=\dfrac{q}{p}$ ($p,q$ は互いに素な自然数)と表せると仮定して矛盾を導く。

指数関数のマクローリン展開において $x=1$ を代入すると，

$$\dfrac{q}{p}=e=1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}+\cdots$$

両辺に $p!$ をかけることで右辺の第 $p+1$ 項までの分母を払う：

$$\begin{aligned} (p-1)! q = N + & \dfrac{1}{(p+1)}+\dfrac{1}{(p+1)(p+2)}\\ &+\dfrac{1}{(p+1)(p+2)(p+3)} + \cdots \end{aligned}$$

ただし，$N$ は自然数。

ここで，右辺の各項を上からおさえる：

$$\begin{aligned} \dfrac{1}{(p+1)(p+2)} &< \dfrac{1}{(p+1)^2}\\ \dfrac{1}{(p+1)(p+2)(p+3)} &< \dfrac{1}{(p+1)^3}\\ &\;\;\vdots \end{aligned}$$

よって，

$$\begin{aligned} &(p-1)!q-N \\ &<\dfrac{1}{(p+1)}+\dfrac{1}{(p+1)^2}+\dfrac{1}{(p+1)^3}+\cdots\\ &<\dfrac{\frac{1}{p+1}}{1-\frac{1}{p+1}}\\ &=\dfrac{1}{p} \leq 1 \end{aligned}$$

これは左辺が自然数であることに矛盾する。