最難関大学受験対策の記事一覧
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レベル：難関大受験数学 の235記事をまとめました。くわしくは各リンク先を見てください。
【式の計算】
【方程式，恒等式】
- ラグランジュの恒等式とその仲間
- カルダノの公式と例題【三次方程式の解の公式】
- 代数学の基本定理とその初等的な証明
- 共役無理数に関する二つの定理
- 因数定理の意味と因数分解への応用・重解バージョンの証明
- 三次方程式の判別式の意味と使い方
【不等式】
- 相加相乗平均の不等式：意味・例題・おもしろい証明
- 相加相乗平均の不等式を用いて関数の最小値を求める
- コーシーシュワルツの不等式とそのエレガントな証明
- 有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明
- ヤングの不等式の３通りの証明
- ルートの和とシュワルツの不等式
- 有名不等式logx≦x-1の証明と入試問題
- 二項係数の上界・下界を与える4つの不等式
- オイラーの定数γの意味と東大の過去問
- arctan のマクローリン展開を用いた円周率の計算～大阪大学挑戦枠2013
- 多項式関数の性質の活用～京大特色2020から
- sin を繰り返し当てはめた関数の問題～京大特色2025第4問
【複素数】
【いろんな関数】
- 放物線の二接線の交点
- シンプソンの公式の証明と例題
- アステロイド曲線の重要な性質まとめ
- シグモイド関数の意味と簡単な性質
- 中間値の定理の意味と多変数関数への応用
- ラグランジュの未定乗数法と例題
- 合成積（畳み込み）の意味と応用３つ
- テント写像とその性質〜東大入試の背景〜
- 三次関数の接線の本数についての美しい定理
- 四次関数の二重接線を素早く求める方法
- カージオイド曲線のグラフ，面積，長さ
- 包絡線の求め方と例題
- ファクシミリの原理と通過領域の例題２問
- 双曲線関数(sinhx, coshx, tanhx)の逆関数
- 対数螺旋（等角螺旋）の長さと面積
- 1/(1-x) のテイラー展開と近似式
- ハイポサイクロイド（特にデルトイド）の式と面積
- ベジェ曲線の定義と4つの性質
- 順像法と逆像法（自然法と逆手法）
- アルキメデスの螺旋
【平面図形】
- 外接円の半径と三角形の面積の関係(S=abc/4R)
- トレミーの定理とその3通りの証明，応用例
- ブラーマグプタの公式とその２通りの証明
- 三角形の五心の覚えておくべき性質を整理
- 正方形の頂点と最短距離
- アポロニウスの円の証明と応用
- 円に外接する四角形とその性質
- 東大数学（図形問題）のポイントと例題
- 円に内接する三角形の面積の最大値
- 等周問題に関連する高校数学の問題
- 垂足三角形の意味と5つの性質
- tan を用いた図形の問題～防衛医科2024から
- 三角形の面積にまつわる公式たち～京大特色2024を通して
- 円と正多角形の間の等周問題～東北大学AO2022
- 【解答・解説】東大理系数学2025 第3問
【空間図形】
- 内接球の半径を求める公式と例題・証明
- 等面四面体とその性質
- 正八面体を上から見た図と東大の問題
- 四平方の定理（図形の面積と正射影）
- 四面体の重心の存在証明と応用例
- 正四面体の中心角の2通りの求め方
- 正六面体と正八面体の双対関係と京大の問題
- 楕円体・回転楕円体の意味と体積・表面積
- 直辺四面体（垂心四面体）と24点球の定理
【座標，ベクトル】
- ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ
- 平面の方程式とその３通りの求め方
- 一次変換の意味と重要な5つの例（折り返し・回転・対称移動）
- 極線の方程式の証明と応用
- 三角形における距離の二乗の和の公式
- 法線ベクトルの3通りの求め方と応用
- 点と平面の距離公式と例題・2通りの証明
- 正射影ベクトルの公式の証明と使い方
- 回転放物面の方程式と東大の問題
- L1距離（マンハッタン距離）の意味と性質
- ピックの定理
【集合，命題，論証】
【三角比・三角関数】
- マクローリン展開にまつわる三角関数の不等式
- チェビシェフ多項式
- 位相が等差数列である三角関数の和の公式
- 逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質
- 京大2023大問6とチェビシェフ多項式
【指数・対数関数】
- マクローリン展開にまつわる指数関数の不等式
- 双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の意味・性質・楽しい話題まとめ
- 減衰曲線の重要な性質まとめ
- 自然対数の底（ネイピア数）の定義：収束することの証明
- nのn乗根の最大項と極限
- ネイピア数eが無理数であることの証明
【場合の数】
- 二項係数の有名公式一覧と2つの証明方針
- 包除原理の２通りの証明
- 攪乱順列（完全順列）の個数を求める公式
- 同じものを含む円順列の裏技公式
- 全射の個数の証明とベル数
- パスカルの三角形の性質とフラクタル
- ランダムウォークの基礎（一次元，高校範囲）
- 二項係数の和，二乗和，三乗和
【データの分析，確率】
- 和の期待値は期待値の和【期待値の線形性】
- ベイズの定理の基本的な解説
- ポリアの壺にまつわる確率とその証明
- 二項分布の平均と分散の二通りの証明
- 独立と無相関の意味と違いについて
- 破産の確率と漸化式
- 同じ誕生日の二人組がいる確率について
- じゃんけんグリコの最適戦略と東大の問題
- 幾何分布の具体例と期待値，無記憶性について
- バナッハのマッチ箱
- 巴戦の確率
【整数】
- 連続するn個の整数の積と二項係数
- ルジャンドルの定理（階乗が持つ素因数のべき数）
- ピタゴラス数の求め方とその証明
- ユークリッドの互除法の証明と不定方程式
- 素因数分解の難しさと素数判定
- ペル方程式に関する基本的な性質まとめ
- ガウス記号の定義と３つの性質
- フロベニウスの硬貨交換問題
- レイリーの定理とその自然な証明
- 格子点の個数を数える問題の5通りの解法
- レプユニット数
- 友愛数の意味と友愛数を生み出す公式
- 実数を分数で近似する【ディリクレのディオファントス近似定理】
- 整数値多項式の意味と2つの必要十分条件
- ディオファントス近似にまつわる入試問題
- 素因数の数の評価～京大特色2024
- マルコフのディオファントス方程式～東北大AO入試を通して
- ガウス関数と極限の融合問題～京大特色2025第1問
- 約数の個数の評価～一橋大学2025第1問
- 【解答・解説】東大理系数学2025 第4問
【数列】
- フィボナッチ数列の8つの性質（一般項・黄金比・互いに素）
- 数列の母関数の意味とその応用例
- 三項間漸化式の3通りの解き方
- ロジスティック写像と漸化式
- 階乗を用いる漸化式の解法
- 連分数展開とその計算方法
- コッホ曲線の次元，曲線の長さなど
- 一次分数型の漸化式の解法と例題
- 連立漸化式の3通りの解き方
- シュトルツ＝チェザロの定理～ロピタルの定理の数列版
- 隣どうしの比と1を比較する（展開式の係数の最大・確率の最大値）
- フィボナッチ数列の逆数とタンジェント～東京科学大学2025第4問
- 【解答・解説】東大理系数学2025 第5問
【極限】
- log2に収束する交代級数の証明
- 調和級数1+1/2+1/3…が発散することの３通りの証明
- sinc 関数：sinx/x について覚えておくべきこと
- 漸化式で表される数列の極限
- グレゴリー・ライプニッツ級数の２通りの証明
- はさみうちの原理の証明
- 区分求積法の難問~京大2003後期~
- チェザロ平均の性質と関連する東大の問題
- ベンフォードの法則と京大数学2024
【微分】
- マクローリン展開
- ライプニッツの公式の証明と二項定理
- ニュートン法の解説とそれを背景とする入試問題
- 微分を用いた不等式証明の問題
- 偏微分の意味と計算例・応用
- 媒介変数表示された有名な曲線７つ
- 上に凸，下に凸な関数と二階微分
- 曲率・曲率半径の感覚的な意味と求め方
- Arctanのマクローリン展開の３通りの方法
- 平均値の定理とは？意味・証明と入試応用例まで解説
- log xのn階微分とテイラー展開
- 一次近似の意味とよく使う近似公式一覧
- デカルトの葉線の漸近線と面積
- サイクロイド曲線のグラフと面積・体積・長さ
- 対数平均に関する不等式の証明
- 伸開線（インボリュート）と縮閉線（エボリュート）の意味と計算例
- 基本的なテイラー展開・マクローリン展開公式一覧
- arcsin・arccos のマクローリン展開
- 【解答・解説】東大理系数学2025 第1問～ベジェ曲線
【積分】
- シュワルツの不等式の積分形
- ベータ関数の積分公式
- 1/sinx（サイン分の1）と1/cosx（コサイン分の1）の積分
- ウォリス積分～sinのn乗，cosのn乗の積分公式
- ルートx^2+a^2の積分計算の２通りの方法
- 対称性を用いた定積分の計算（King Property）
- ガウス積分の公式の２通りの証明
- 三角関数の積の積分と直交性
- 極方程式の面積公式と例題
- バームクーヘン積分の例と証明
- パップスギュルダンの定理とその証明
- 傘型分割（傘型積分）と斜回転体の体積
- ガウスグリーンの定理の入試への応用
- 曲線の長さを計算する積分公式（弧長積分）
- 台形公式を用いた積分の近似とその誤差
- 三角関数の有理式の積分
- 極座標における回転体の体積公式
- ドーナツ（トーラス体・円環体）の体積・表面積を2通りの方法で計算
- 【解答・解説】東大理系数学2025 第2問
【二次曲線】
- 全ての放物線が相似であることの証明
- 二次曲線の分類（四通りの方法）
- パラボラアンテナの原理と放物線の性質
- 楕円，放物線，双曲線の準円
- 二次曲線（楕円，放物線，双曲線）の極座標表示
- 直角双曲線の方程式と性質
- 斜めの楕円の方程式（特に45度回転）
- 楕円の反射定理とその証明
【難問・良問】
- 実践問題集その１
- 実践問題集その２
- tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明
- 円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明
- 複素数平面の問題（2016年東大理系第4問）
- 東大文系数学2018入試過去問解答解説
- 東大理系数学2018入試過去問解答解説
- 東大文系数学2017入試過去問解答解説
- 東大文系数学2019入試過去問解答解説
- 東大理系数学2017入試過去問解答解説
- 東大文系数学2020入試過去問解答解説
- 東大文系数学2016入試過去問解答解説
- 【解答・解説】東大理系数学2021
- 【解答・解説】東大文系数学2021
- 京大文系数学2021入試過去問解答解説
- 京大理系数学2021入試過去問解答解説
- 京大文系数学2020入試過去問解答解説
- 京大理系数学2020入試過去問解答解説
- 【解答・解説】東大理系数学2022
- 【解答・解説】東大文系数学2023
- 【解答・解説】東大理系数学2023
- 【解答・解説】東大理系数学2019
- 【解説】東大理系数学2019 第一問
- 【解答・解説】東大理系数学2024
- ユークリッドの互除法と約数の考察～京大理系後期1989
- 【解答・解説】東大理系数学2025
【線形代数】
【物理】
- スネルの法則（屈折の法則）をフェルマーの原理を用いて証明
- 反発係数を考慮した自由落下の有名問題
- 運動量保存則とエネルギー保存則の導出
- 断熱変化におけるポアソンの式の導出
- 単振り子の周期（近似解と厳密解の比較）
【数学の勉強法】
