最難関大学受験対策の記事一覧 まとめ 更新日時 2022/05/26 方程式,恒等式 行列・関数・多項式に共通する有名な性質 因数分解公式(n乗の差,和) 四次式の因数分解の5パターン 共役無理数に関する二つの定理 ラグランジュの恒等式とその仲間たち 原始多項式とその積について 代数学の基本定理とその初等的な証明 因数定理の意味と因数分解への応用・重解バージョンの証明 三次方程式の判別式の意味と使い方 不等式 相加相乗平均の不等式の応用〜関数の最小値を求める〜 相加相乗平均の不等式:意味:例題:おもしろい証明 シュワルツの不等式とそのエレガントな証明 有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明 ルートの和とシュワルツの不等式 対数平均に関する不等式の証明 複素数 ド・モアブルの定理の意味と証明 一次分数変換(メビウス変換)と円円対応 複素数平面における直線の方程式 複素数平面の問題(2016年東大理系第4問) 図形(初等幾何) 内接球の半径を求める公式と例題・証明 ブラーマグプタの公式とその証明 外接円の半径と三角形の面積の関係 三角形の五心の覚えておくべき性質を整理 トレミーの定理とその3通りの証明 等面四面体とその性質 円周率が3.05より大きいことのいろいろな証明 三角形における距離の二乗の和の公式 正八面体を上から見た図と東大の問題 円に外接する四角形の重要な2つの性質 アポロニウスの円の証明と応用 四平方の定理(図形の面積と正射影) 東大数学(図形問題)のポイントと例題 円に内接する三角形の面積の最大値 正四面体の中心角の2通りの求め方 等周問題に関連する高校数学の問題 垂足三角形の意味と5つの性質 解析幾何(座標・ベクトル) 平面の方程式とその3通りの求め方 放物線の二接線の交点 ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ 正射影ベクトルの公式の証明と使い方 回転放物面の方程式と東大の問題 四面体の体積を求める2つの公式with行列式 極線の方程式の証明と応用 全ての放物線が相似であることの証明 点と平面の距離公式と例題・2通りの証明 四面体の重心の存在証明と応用例 L1距離(マンハッタン距離)の意味と性質 正六面体と正八面体の双対関係と京大の問題 楕円体・回転楕円体の意味と体積・表面積 三角比,三角関数 マクローリン型不等式(三角関数) 逆三角関数(Arcsin,Arccos,Arctan)の意味と性質 チェビシェフ多項式 位相が等差数列である三角関数の和の公式 tan1°、sin1°、cos1°が無理数であることの証明 指数関数,対数関数 減衰曲線の重要な性質まとめ マクローリン型不等式(指数関数) ネイピア数eが無理数であることの証明 nのn乗根の最大項と極限 自然対数の底(ネイピア数)の定義:収束することの証明 双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の意味・性質・楽しい話題まとめ 有名不等式logx≦x-1の証明と入試問題 log xのn階微分とテイラー展開 いろいろな関数 三次関数の接線の本数についての美しい定理 四次関数の二重接線を素早く求める方法 包絡線の求め方と例題 上に凸,下に凸な関数と二階微分 合成積(畳み込み)の意味と応用3つ テント写像とその性質〜東大入試の背景〜 シグモイド関数の意味と簡単な性質 中間値の定理の応用と多変数関数への拡張 ファクシミリの原理と通過領域の例題2問 sinhx, coshx, tanhxの逆関数 対数螺旋の式と面積,長さ ハイポサイクロイド(特にデルトイド)の式と面積 ベジェ曲線の定義と4つの性質 二次曲線 楕円,放物線,双曲線の準円 二次曲線の分類(四通りの方法) パラボラアンテナの原理と放物線の性質 直角双曲線の方程式と性質 二次曲線(楕円,放物線,双曲線)の極座標表示 斜めの楕円の方程式(特に45度回転) 楕円の反射定理とその証明 極限,微分 マクローリン展開 調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明 log2に収束する交代級数の証明 媒介変数表示された有名な曲線7つ 平均値の定理の意味・証明・応用例題2パターン グレゴリーライプニッツ級数の2通りの証明 微分を用いた不等式証明の問題 漸化式で表される数列の極限 チェザロ平均の性質と関連する東大の問題 sinx/xについて覚えておくべき2つのこと ライプニッツの公式の証明と二項定理 曲率・曲率半径の感覚的な意味と求め方 ニュートン法の解説とそれを背景とする入試問題 スネルの法則をフェルマーの原理を用いて証明 一次近似の意味とよく使う近似公式一覧 区分求積法の難問~京大2003後期~ アステロイド曲線の重要な性質まとめ カージオイド曲線のグラフ,面積,長さ デカルトの葉線の漸近線と面積 はさみうちの原理の証明 偏微分の意味と計算例・応用 ラグランジュの未定乗数法と例題 arctanのマクローリン展開の3通りの方法 伸開線・縮閉線の意味と計算例 積分 ベータ関数の積分公式 サイン分の1,コサイン分の1の積分の2通りの方法 ガウスグリーンの定理の入試への応用 三角関数の積の積分と直交性 シンプソンの公式の証明と例題 sinのn乗,cosのn乗の積分公式 対称性を用いた定積分の計算(King Property) ヤングの不等式の3通りの証明 ルートx^2+a^2の積分計算の2通りの方法 シュワルツの不等式の積分形 台形公式を用いた積分の近似とその誤差 バームクーヘン積分の例と証明 パップスギュルダンの定理とその証明 極座標における回転体の体積公式 傘型分割(傘型積分)と斜回転体の体積 曲線の長さを計算する積分公式(弧長積分) 三角関数の有理式の積分 ドーナツ(トーラス体・円環体)の体積・表面積を2通りの方法で計算 場合の数,確率 和の期待値は期待値の和 攪乱順列(完全順列)の個数を求める公式 二項係数の有名公式一覧と2つの証明方針 破産の確率と漸化式 同じ誕生日の二人組がいる確率について 同じものを含む円順列の裏技公式 正規分布の基礎的なこと じゃんけんグリコの最適戦略と東大の問題 ベイズの定理の基本的な解説 包除原理の2通りの証明 全射の個数の証明とベル数 パスカルの三角形の性質とフラクタル 独立と無相関の意味と違いについて ポリアの壺にまつわる確率とその証明 バナッハのマッチ箱 二項係数の和,二乗和,三乗和 二項分布の平均と分散の二通りの証明 幾何分布の具体例と期待値,無記憶性について ランダムウォークの基礎(一次元,高校範囲) 巴戦の確率 整数 ユークリッドの互除法の証明と不定方程式 ピタゴラス数の求め方とその証明 連続するn個の整数の積と二項係数 ルジャンドルの定理(階乗が持つ素因数pのべき数) フロベニウスの硬貨交換問題 ガウス記号の定義と3つの性質 格子点の個数を数える問題の5通りの解法 ペル方程式に関する基本的な性質まとめ 素因数分解の難しさと素数判定 レイリーの定理とその自然な証明 レプユニット数 友愛数の意味と友愛数を生み出す公式 数列 三項間漸化式の3通りの解き方 フィボナッチ数列の7つの性質(一般項・黄金比・互いに素) ロジスティック写像と漸化式 数列の母関数とその応用例 連分数展開とその計算方法 階乗を用いる漸化式の解法 反発係数を考慮した自由落下の有名問題 コッホ曲線の次元,曲線の長さなど 一次分数型の漸化式の解法と例題 その他 大学受験数学の勉強法(3つのコツ) 黄金比にまつわる話題 一次変換の意味と重要な5つの例(折り返し・回転・対称移動) 運動量保存則とエネルギー保存則の導出 断熱変化におけるポアソンの式の導出 単振り子の周期(近似解と厳密解の比較) 高校数学における線形性の8つの例 実践問題集その1 実践問題集その2 この記事の編集者マスオ高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください! まとめ